轉載：尤拉函式知識點總結及程式碼模板及尤拉函式表

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尤拉函式是少於或等於n的數中與n互質的數的數目。

 尤拉函式的性質：它在整數n上的值等於對n進行素因子分解後，所有的素數冪上的尤拉函式之積。

 尤拉函式的值 　通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn為x的所有質因數，x是不為0的整數。φ(1)=1（唯一和1互質的數(小於等     於1)就是1本身）。 (注意：每種質因數只一個。比如12=2*2*3那麼φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4）

推論：當n為奇數時，有φ(2n)=φ(n)。

若n是質數p的k次冪，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質。
設n為正整數，以 φ(n)表示不超過n且與n互素的正整數的個數，稱為n的尤拉函式值，這裡函式φ：N→N，n→φ(n)稱為尤拉函式。
尤拉函式是積性函式——若m,n互質，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
特殊性質：當n為奇數時，φ(2n)=φ(n), 證明與上述類似。
演算法實現與分析：
求解尤拉函式的值可用φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)，容易知道要對n進行素因子分解。
（1）直接實現


  int oula(int n)
  {
      int rea=n;
      for(int i=2; i<=n; i++)
          if(n%i==0)//第一次找到的必為素因子
          {
              rea=rea-rea/i;
              do
                  n/=i;//把該素因子全部約掉
             while(n%i==0);
         }
     return rea;
 }

 這個函式的複雜度為O（n），如果n達到1000000000，肯定會超時，由於任何一個合數都至少有一個不大於根號n的素因子，所以只需遍歷到根號n即可，這樣複雜度降為O(√ˉn）

    下面是優化程式碼：


  int oula(int n)
  {
      int rea=n;
      for(int i=2; i*i<=n; i++)
          if(n%i==0)//第一次找到的必為素因子
          {
              rea=rea-rea/i;
              do
                  n/=i;//把該素因子全部約掉
             while(n%i==0);
         }
     if(n>1)
         rea=rea-rea/n;
     return rea;
 }

（2）素數表實現

    先把50 000以內的素數用篩選法選出來並儲存，以方便尤拉函式使用，這樣，在不考慮篩選法的時間複雜度，而單純看尤拉函式，其複雜度為O（x），x為O(√ˉn）以內素數的個數。

  bool boo[50000];
  int p[20000];
  void prim()
  {
      memset(boo,0,sizeof(boo));
      boo[0]=boo[1]=1;
      int k=0;
      for(int i=2; i<50000; i++)
      {
         if(!boo[i])
             p[k++]=i;
         for(int j=0; j<k&&i*p[j]<50000; j++)
         {
             boo[i*p[j]=1;
                 if(!(i%p[j]))
                 break;
         }
 }
 }//篩選法打表
 int phi(int n)
 {
     int rea=n;
     for(int i=0; p[i]*p[i]<=n; i++)//對於一些不是素數的可不遍歷
         if(n%p[i]==0)
         {
             rea=rea-rea/n;
             do
                 n/=p[i];
             while(n%p[i]==0);
         }
     if(n>1)
         rea=rea-rea/n;
     return rea;
 }

    （3）遞推求尤拉函式

     如果頻繁的使用尤拉函式值，就需要預先打表，下面介紹遞推求尤拉公式的方法。

    可預先之所有數的尤拉函式值都為她本身，有定理可知，如果p是一個正整數且滿足φ（p）=p-1;那麼p是素數，在遍歷過程中如果遇到尤拉函式與自身相等的情況。那麼說明該數為素數，把這個數的尤拉函式值改變，同時也把能被素因子整除的數改變。


  for(i=1; i<=maxn; i++)
      p[i]=i;
  for(i=2; i<=maxn; i+=2)
      p[i]/=2;
  for(i=3; i<=maxn; i+=2)
      if(p[i]==i)
      {
          for(j=i; j<=maxn; j+=i)
              p[j]=p[j]/i*(i-1);
     }

附上尤拉函式表：

2-100尤拉函式表
n φ(n)
2 1
3 2
4 2
5 4
6 2
7 6
8 4
9 6
10 4
11 10
12 4
13 12
14 6
15 8
16 8
17 16
18 6
19 18
20 8
21 12
22 10
23 22
24 8
25 20
26 12
27 18
28 12
29 28
30 8
31 30
32 16
33 20
34 16
35 24
36 12
37 36
38 18
39 24
40 16
41 40
42 12
43 42
44 20
45 24
46 22
47 46
48 16
49 42
50 20
51 32
52 24
53 52
54 18
55 40
56 24
57 36
58 28
59 58
60 16
61 60
62 30
63 36
64 32
65 48
66 20
67 66
68 32
69 44
70 24
71 70
72 24
73 72
74 36
75 40
76 36
77 60
78 24
79 78
80 32
81 54
82 40
83 82
84 24
85 64
86 42
87 56
88 40
89 88
90 24
91 72
92 44
93 60
94 46
95 72
96 32
97 96
98 42
99 60
100 40