尤拉角和旋轉矩陣之間的轉換

在實際程式設計實踐中，特別是使用C++的Eigen庫時，需要掌握多種空間旋轉表示之間的轉換。本文將深入探討尤拉角與旋轉矩陣之間的相互轉換，這是使用庫時常見的操作。
首先，讓我們瞭解尤拉角。它是指透過圍繞三個基本座標軸旋轉來表示三維物件旋轉的旋轉引數，通常標記為θx, θy, θz。尤拉角有正負之分，與繞軸旋轉方向有關。
尤拉角的取值範圍通常是從0到360度。旋轉順序和旋轉軸的選擇對於尤拉角的表示至關重要。尤拉角可以是內旋也可以是外旋，內旋表示圍繞自身軸進行的旋轉，而外旋是圍繞固定軸的旋轉。旋轉順序在尤拉角中也起著核心作用，常見的順序有XYZ、XZX、ZYZ等。
旋轉矩陣是另一種用於表示三維旋轉的方式。為了從XYZ座標系變換到一個特定旋轉的角度，可以使用一個 3x3 的旋轉矩陣。對於繞XYZ三個軸旋轉的尤拉角而言，其對應的旋轉矩陣可以分為兩步來計算：
對於內旋（繞自身軸的旋轉），使用矩陣相乘（右乘），計算順序為 Rz(θz) * Ry(θy) * Rx(θx)，得到旋轉矩陣：
　　R = Rz(θz) * Ry(θy) * Rx(θx)
對於外旋（繞固定軸的旋轉），使用矩陣相乘（左乘），計算順序為 R(θx) * R(θy) * R(θz)，得到旋轉矩陣：
　　R = R(θx) * R(θy) * R(θz)
這裡的 R(α) 表示圍繞α軸旋轉α角度的旋轉矩陣。外旋和內旋的區別在於旋轉矩陣的計算順序，但它們的結果是等價的，即 R1=R2，意味著 ZYX 內旋與 XYZ 外旋相等。
旋轉矩陣在機器人學和三維圖形學中常常被用於將座標從一個姿態變換到另一個姿態。當需要將尤拉角轉換為旋轉矩陣時，只需按照外旋順序（X-Y-Z）構建矩陣，即：
　　R = Rx(θx) * Ry(θy) * Rz(θz)
這代表將三維空間中的點按照尤拉角指定的順序和幅度進行旋轉。
以下是一個使用 Eigen 庫的示例程式碼片段來演示尤拉角與旋轉矩陣之間的轉換過程。使用這段程式碼，可以驗證不同方法下的轉換結果一致性。
最後的總結是對細節的把握和理解。在實際應用中，準確理解尤拉角的表示、旋轉順序、內旋與外旋的區別，對避免常見的計算錯誤至關重要。同時，注意尤拉角的定義範圍（通常0到360度），正確使用矩陣相乘，選擇合適的旋轉順序，都關係著轉換結果的準確性。如在本文討論中的任何誤解或錯誤，請在評論區指出，幫助提高文章的準確性和可操作性。