本文釋出於遊戲程式設計師劉宇的個人部落格，長期更新，轉載請註明源地址https://www.cnblogs.com/xiaohutu/p/10979936.html
數學，是人類對客觀世界中數量關係和空間形式本質特徵進行研究的科學。對同樣的某一特徵或者關係，可以根據需求用不同的數學符號、定義和過程來表達。在遊戲引擎中，我們也有很多這樣的例子，比如本文說到的旋轉。
尤拉角
旋轉是一個過程，一個物體圍繞周或者點角度變化的過程。為了描述這個過程我們必須有參照物，於是我們先定義一個世界座標系，笛卡爾座標系。
尤拉角用（x, y, z) 分別來表示這個物體相對三個座標系的夾角，這是由數學家尤拉首先提出而得名的。
然而僅僅有（x, y, z) 來表示旋轉是不夠的，還有兩個因素：
首先是旋轉順序，從各個軸上進行角度旋轉時xyz先後的不同會得到不同的結果。我們稱這個順序定義為順規，下面一段是維基百科的定義：
在經典力學裡，時常用zxz順規來設定尤拉角；照著第二個轉動軸的軸名，簡稱為x順規。另外，還有別的尤拉角組。合法的尤拉角組中，唯一的限制是，任何兩個連續的旋轉，必須繞著不同的轉動軸旋轉。因此，一共有12種順規。例如，y順規，第二個轉動軸是y-軸，時常用在量子力學、核子物理學、粒子物理學。另外，還有一種順規，xyz順規，是用在航空航天工程學；
按(z-x-z, x-y-x, y-z-y, z-y-z, x-z-x, y-x-y)軸序列旋轉，即第一個旋轉軸和最後一個旋轉軸相同，我們稱之為經典尤拉角（Proper Euler Angle）。
按(x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z)軸序列旋轉，即三個不同的軸，我們稱之為泰特布萊恩角（Tait–Bryan angles）。
其次是旋轉的參照座標系，尤拉角按旋轉的座標系分為：
內旋（intrinsic rotation）即按照物體本身的座標系進行旋轉，座標系會跟隨旋轉與世界座標系產生偏移。
外旋（extrinsic rotation）即根據世界座標系進行旋轉。
這是我們看看Unity3d中Transform的Rotate，最後一個引數即座標系：
public void Rotate(Vector3 eulerAngles, Space relativeTo = Space.Self);
注意：Unity3d使用的是zxy的順規，且進行一次尤拉旋轉的zxy依次執行過程中，相對軸始終是運算開始之前的軸向。
萬向節死鎖（Gimbal Lock）
注意我們前面提到的旋轉的規則 [ 進行一次尤拉旋轉的zxy依次執行過程中，相對軸始終是運算開始之前的軸向 ]
在這個規則下，zxy順規時，如果x的旋轉為90度，那麼任意的（z,90,y）都與（z-y,90,0）得到的結果都是相同的，此時我們稱z軸失去了自由度，並稱這種情況為萬向節死鎖。之所以叫Gimbal Lock，是因為這種情況正好和Gimbal，即陀螺儀的情況是完美匹配的，死鎖情況也相同。具體情況這篇文章寫的很好，大家可以看一下：https://blog.csdn.net/andrewfan/article/details/60981437
這種情況下，物體的某一個旋轉，會有多個尤拉角數值與其多對一的對應，那麼對尤拉角進行插值是沒有意義的。如果只旋轉一個軸，其他軸不動，那麼直接設定尤拉角的數值倒是沒有什麼問題。
同時我們也不難得出死鎖的原因並不是由順規決定的，而是由於尤拉角的原理和計算方式，一個軸的旋轉必然帶來另外軸的旋轉所導致的。
軸向角
這時候，又有了一個思路，我們可以使用基於一個單位向量來表示方向，再用一個標量來定義繞這個向量來旋轉多少角度theta。
即[x,y,z,theta]，前面的xyz表示這個向量，最後一個表示角度。這個表示方法很簡潔明瞭，容易理解。
缺點有兩個：
1.不同的軸角之間不能進行簡單的插值。
2.不好基於一個向量加上一個軸角形式的旋轉來進行運算。
為了解決這些缺點，先人們又發明了使用四元數和矩陣來表達旋轉。
四元數
這裡先說一下基本原理：
參考連結：https://www.3dgep.com/understanding-quaternions/
譯文：https://blog.csdn.net/lhs322/article/details/80066960
四元數的概念是由愛爾蘭數學家漢密爾頓發明的，他當時正和老婆一起前往愛爾蘭皇家研究院，一邊走一邊想，路過一座橋時，他頓悟了公式，並立刻把它刻在橋上的石頭上：
那麼，為什麼四元數能表示三維空間的旋轉呢？首先學過高數我們都知道複數的定義以及幾何意義，複數可以對映到複數平面上，並且對這複數乘以i，得到的複數就相當於複數空間裡旋轉了90度。
例如下圖，p = 2 + i，乘以i後： q = pi = (2+i)*i = 2i + i*i = 2i - 1 = -1 + 2i。可以看出q逆時針旋轉了90度。同理乘以-i即為正時針旋轉90度。
此時將複數的虛部擴充套件為三個，並根據漢密爾頓的著名錶達式以及推論
四元數的定義可以用來表達笛卡爾座標系的旋轉，其中i,j,k分別代表笛卡爾座標系裡xyz三個軸的單位向量。這些表示式裡 ij = k 是不是很眼熟？兩個互相垂直的單位向量的叉乘等於垂直於兩個向量的單位向量。
經過一系列的推導和運算（略），大家感興趣可以看上面的連結，假設一個旋轉的基準向量
是（A,B,C)，角度是 θ （theta），那麼表達這個旋轉過程的四元數如下：
注意ABC本質上就是基準向量在3個笛卡爾軸上的分量，用來準確描述向量，上面的公式也就是
四元數 q = [cos(θ/2), sin(θ/2)* v‘];
即：
w = cos(θ/2) x = A * sin(θ/2) y = B * sin(θ/2) z = C * sin(θ/2)
假設有一個向量v要進行旋轉，這個旋轉描述為q，那麼結果是 v' = qvq-1， 如果要進行多次旋轉，則表示為：
四元數的乘法是：
q1 * q2 =
(w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2) +
(w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2) i +
(w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x2) j +
(w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2) k
可以看到，通過一系列的數學推導和定義，可以只用4個浮點數就來表達一個旋轉過程，並且可以方便簡單的快速計算旋轉的疊加。這對於遊戲引擎來說是非常有意義的，可以加快運算速度。
四元數還有很多具體的特性，計算規則等，感興趣的可以去研究，本文主要討論旋轉，這裡不再贅訴。
【球形插值】
四元數還可以實現球形插值，制定兩個旋轉qa到qb，時間間隔為t，那麼此刻的旋轉插值為：
其中θ為兩個旋轉之間的夾角：
球面插值可以在遊戲裡實現很平滑的轉向和球面運動。
四元數與尤拉角之間的轉換
已知尤拉角，求四元數：
已知四元素，求尤拉角
用矩陣來計算旋轉
學過矩陣乘法我們都知道，如果把向量看成一個列矩陣，那麼與向量維度相同的列數的矩陣乘以它，得到的結果也是一個列矩陣，即：
所以可以充分利用左邊矩陣的內容，對右邊的向量進行各種變換（包括平移，縮放，旋轉等等），這裡我們只討論旋轉。
具體推導過程參考這裡:https://www.cnblogs.com/xpvincent/archive/2013/02/15/2912836.html
假設一個向量V（Vx,Vy, Vz) 繞另外一個軸角（nx, ny, nz, θ）進行旋轉，那麼旋轉結果V'是：
這個公式我們稱之為羅德里格旋轉公式(Rodrigues' rotation formula)，用矩陣計算旋轉在遊戲圖形渲染裡非常普遍，不過引擎裡一般為了相容更多的向量變換，都使用了其次矩陣，即多一個維度的矩陣，本文不表。
小結
總結完這幾種在常見的表達旋轉的數學方式，可以看到遊戲引擎裡也都使用到這些表達方法，感覺收益匪淺，後面準備討論一下齊次矩陣和矩陣變換的原理。