每日一題/005/矩陣/數學歸納法/設A的順序主子式均不為0.則有下三角矩陣B，使得BA是上三角矩陣，

陌雨’發表於2021-01-02
每日一題矩陣

題目：
設 A n × n A_{n\times n} An×n​ 的順序主子式均不為零，證明：存在下三角矩陣 B n × n B_{n\times n} Bn×n​，使 B A BA BA 為上三角形.

參考答案：
證明：
當 n = 1 n=1 n=1 時，結論顯然成立
假設當 n ⩽ k − 1 n\leqslant k-1 n⩽k−1 時，結論成立，那麼當 n = k n=k n=k 時：
對 A A A 做分塊，

A = [ A 11 A 12 A 21 A 22 ] A=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix} A=[A11​A21​​A12​A22​​]

其中 A 11 A_{11} A11​ 是一個 k − 1 k-1 k−1 階矩陣， A 12 A_{12} A12​ 是一個 k − 1 k-1 k−1 維列向量， A 21 A_{21} A21​ 是一個 k − 1 k-1 k−1 維行向量， A 22 A_{22} A22​ 是一個 1 1 1 階矩陣，即一個數。

考慮一個下三角矩陣 B B B ,對 B B B 做同樣的分塊.
B = [ B 11 O B 21 B 22 ] B=\begin{bmatrix}B_{11}&O\\B_{21}&B_{22}\end{bmatrix} B=[B11​B21​​OB22​​]

那麼就有
B A = [ B 11 A 11 B 11 A 12 B 21 A 11 + B 22 A 21 B 21 A 12 + B 22 A 22 ] BA=\begin{bmatrix}B_{11}A_{11}&B_{11}A_{12}\\B_{21}A_{11}+B_{22}A_{21}&B_{21}A_{12}+B_{22}A_{22}\end{bmatrix} BA=[B11​A11​B21​A11​+B22​A21​​B11​A12​B21​A12​+B22​A22​​]

為了使 B A BA BA 成為一個上三角矩陣，那麼應當有：
{ B 11 A 11 = M B 21 A 11 + B 22 A 21 = 0 \left\{\begin{aligned} &B_{11}A_{11}=M\\ &B_{21}A_{11}+B_{22}A_{21}=0 \end{aligned}\right. {​B11​A11​=MB21​A11​+B22​A21​=0​

其中 M M M 是一個上三角矩陣

根據假設，存在一個 B 11 B_{11} B11​ 使得 B 11 A 11 B_{11}A_{11} B11​A11​ 是一個上三角矩陣

取 B 22 = − 1 B_{22}=-1 B22​=−1, B 21 = A 21 A 11 − 1 B_{21}=A_{21}A_{11}^{-1} B21​=A21​A11−1​,找到了滿足題意的 B B B，所以對於任意的 n n n,結論都成立。證畢

2021年1月2日18:41:32

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