三維旋轉矩陣 左乘和右乘分析

突然發現自己被旋轉矩陣的左乘右乘給搞糊塗了，查了不少部落格還是有點暈，這裡自己總結一下：
本文所討論均是基於右手座標系，旋轉也是以正方向旋轉，如圖所示：

左乘： 座標系不動，點動，則左乘。【若繞靜座標系（世界座標系）旋轉，則左乘，也是變換矩陣乘座標矩陣；】
右乘： 點不動，座標系動，則右乘。【若是繞動座標系旋轉（自身建立一個座標系），則右乘，也就是座標矩陣乘變換矩陣】

由於三維旋轉可以分解成分別繞三個軸旋轉，然後其實就是二維旋轉了。為了方便，這裡就使用二維旋轉舉例。
比如繞z軸旋轉 theta 角度；
左乘分析如圖所示：

而右乘分析：
則是旋轉座標系；點逆時針旋轉了theta角，其實也就是相當於座標軸也逆時針旋轉theta角。如圖所示：

設點原座標為$[x,y,z]$，旋轉後的座標為$[x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }]$, 設左乘旋轉矩陣為$R_{left}$,右乘旋轉矩陣為$R_{right}$，
則：
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=R_{left}\ast \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$
$$\left[\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]\ast R_{right}$$

觀察上面兩圖計算出來的旋轉矩陣還可以得出結論，$R_{left}\ast R_{right}=I$，這意味這這兩個矩陣是互為逆。
另外，$R_{left}(\theta )=R_{right}(-\theta )$ 。
【可以說，如果一個旋轉矩陣左乘表示逆時針旋轉 theta 角，那麼將此矩陣右乘的話則表示順時針旋轉 theta 角】
左乘與右乘是可以變換的。也即是說：

$$R_{lef{t}_3}(\theta )\ast R_{lef{t}_2}(\theta )\ast R_{lef{t}_1}(\theta )\ast \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=R_{righ{t}_3}(-\theta )\ast R_{righ{t}_2}(-\theta )\ast R_{righ{t}_1}(-\theta )\ast \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$

不過建議只是用一種方法來計算旋轉矩陣，以免混淆。

【如有錯誤，歡迎各位批評指正。】

參考部落格：https://blog.csdn.net/csxiaoshui/article/details/65446125