問題描述
給定\(n\)個矩陣\(\{A_1,A_2,A_3,...,A_n\}\)，其中\(A_i\)為\(P_{i-1}\times P_i\)矩陣，\(i = 1,...,n\)，並且\(A_i\)與\(A_{i-1}\)是可乘的。由於矩陣乘法滿足結合律，所以計算矩陣的鏈乘可有許多不同的計算次序，兩個矩陣\(A_{i\times j}\)與\(A_{j\times k}\)相乘的工作量為\(i\times j\times k\)次數乘。
給定向量\(P=<P_0,P_1,...,P_n>\)為\(n\)個矩陣的行數和列數，確定一種乘法次序，使得基本運算“數乘”的總次數最少。
完全加括號
完全加括號的矩陣鏈乘積可遞迴地定義為：
- 單個矩陣是完全加括號的
- 矩陣鏈乘積\(A\)是完全加括號的，則\(A\)可表示為兩個完全加括號的矩陣鏈乘積\(B\)和\(C\)的乘積，並加括號，即\(A=(BC)\)
最優子結構
- 矩陣鏈乘\(A_iA_{i+1}...A_j\)簡記為\(A_{i...j},i\leq j\)，於是矩陣鏈乘\(A_1A_2...A_n\)可記為\(A_{1...n}\)，完全加括號形式為\(A_{1...n}=A_{1...k}A_{k+1...n},1\leq k < n\)
- 矩陣連乘\(A_{1...n}\)的最優計算次序的計算量等於\(A_{1...k}\)和\(A_{k+1...n}\)兩者的最優計算次序的計算量之和，再加上\(A_{1...k}\)和\(A_{k+1...n}\)相乘的計算量。矩陣鏈乘問題的最優解具有最優子結構特性。
最優解的遞推關係
- 由\(i\)和\(j\)確定子問題的邊界，輸入\(P=<P_0,P_1,...P_n>\)
\[A_{i...j}=A_{i...k}A_{k+1...j},k=i,i+1,...,j-1
\]
- 確定優化函式和遞推方程：二維陣列\(m\)用來儲存矩陣鏈乘時所需的最小計算量
\[m[i][j]=\begin{cases}
\min\limits_{i\leq k < j} \{m[i][k]+m[k+1][j]+P_{i-1}P_kP_j\} &\text{if } i<j \\
0 &\text{if } i=j
\end{cases}
\]
- 設立標記函式：為了確定加括號的次序，設計表\(s[i,j]\)記錄求得最優時，最後一次運算的位置，即\(m[i][j]\)達到最小時\(k\)的劃分。
演算法描述（虛擬碼）
- 迭代實現 備忘錄法
MatrixChain(P,n)
令所有m[i,j]的初值為0；
for r <- 2 to n do
for i <- 1 to n-r+1 do
j <- i+r-1;
m[i,j] <- m[i+1,j]+P_i-1P_iP_j;
s[i,j] = i;
for k <- i+1 to j-1 do
t <- m[i,k]+m[k+1,j]+P_i-1P_kP_j;
if t < m[i,j]
then m[i,j] <- t;
s[i,j] <- k;
結束語
醉後不知天在水，滿船清夢壓星河
作者：花城