動態規劃解0-1揹包問題

喝茶謝謝發表於2022-05-24
動態規劃

動態規劃解0-1揹包問題

動態規劃解0-1揹包問題是一個十分典型案例，我從網上查詢好多相關資料，但是大部分都深奧難懂，並不適合初學演算法的小白，其中涉及的遞推關係式、填表，以及最後的二維表簡化為一維表的優化過程，好多都是一筆帶過，所以，今天就盡我所能，來敘述一下對於0-1揹包問題使用動態規劃來求解。
要解決0-1揹包問題，首先我們們要解決的是什麼是動態規劃。

動態規劃

先說一說什麼是動態規劃。
動態規劃演算法與分治演算法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然後從這些子問題的解得到原問題的解。
這裡又涉及到分治演算法，那就簡單概述一下分治演算法。
分治演算法簡而言之就是將一個大問題分成若干個小問題，通過求解小問題的最優解，進而推出所求解問題的最優解。
這麼乍一看，可能會覺得分治演算法與動態規劃相類似，實際上，他們有一個最本質的區別，那就是子問題的型別不同。
分治演算法的子問題是相互獨立的，子問題與子問題之間並沒有什麼關聯。而動態規劃的子問題就有意思了，他們是重疊的子問題。這麼單純的用文字來描述可能有點難以理解，我們借用一張圖來宣告

從這張圖我們可以看出，當我們對所求問題進行子問題劃分時，會產生很對相同的子問題，這些子問題在計算機中我們已經求得結果一次，再另一個子問題中，我們如果再讓計算機求解相同的子問題，顯然有點不太地道。
而這種一遍一遍求解相同子問題，如果當問題為n時，顯然我們付出的時間是相當大的。
為了解決這個問題，動態規劃表示，可以用一張陣列來記錄下我們之前已經求解的子問題結果，當我們再次呼叫時，只需先從陣列中查詢是否有所求子問題的結果，如果有，皆大歡喜，直接把答案調出來使用，如果沒有，就將該問題的解儲存進去，為了下一次查詢提供結果。
這麼看來，我們就是在用空間換時間，實際上就是如此。
簡單來說，求解動態規劃的核心是窮舉，因為要求最值，所以要把所有可行的答案窮舉出來，然後在其中找最值。而在我們窮舉的過程中，我們會把碰到的解相同的子問題用一個陣列記錄下來。

通過上述所言，我們講清楚了什麼是動態規劃。

進而，我們可以總結出，要想使用動態規劃，我們的問題必不可少兩個基本要素是：

  • 最優子結構性質
  • 重疊子問題

當我們的問題具備這兩個基本要素後，我們便可以考慮使用動態規劃來求解問題。

0-1揹包問題

實現我們來了解一下什麼是0-1揹包問題。
在學習到動態規劃演算法之前，相想必我們也接觸過貪心演算法。
而在貪心演算法中，我們也肯定接觸過一個經典案例，那就是用貪心演算法求解揹包問題。
沒接觸過也沒有關係，我們只是用貪心演算法解揹包問題來類比一下，所以我們只需要瞭解用貪心演算法解決揹包問題的大體思路
用貪心演算法解揹包問題的基本步驟： 首先計算每種物品單位重量的價值v[i]/w[i]，然後，依貪心選擇策略，將盡可能多的單位重量價值最高的物品裝入揹包。若將這種物品全部裝入揹包後，揹包內的物品總重量未超過C，則選擇單位重量價值次高的物品並儘可能多地裝入揹包。依此策略一直地進行下去，直到揹包裝滿為止。
貪心演算法解決揹包問題，無疑是一種十分方便的方法，但是在0-1揹包問題中，我們增加了一條限制，就是我們並不能取得平均價值，比如說一個蘋果重5斤，價值是5，平均價值是1，但是當揹包還剩下2斤的容量時，我們不可能裝下2/5個蘋果，所以，就衍生出來了我們的0-1揹包問題：

有n個物品，它們有各自的體積和價值，現有給定容量的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？

那麼我們就來解決一下這個不可分割的揹包問題。
解題之前先要梳理思路，該題的思路是一般動態規劃的解題思路，就是將大問題化成子問題，然後動態填表的過程。而該題的核心是如何動態填表。

揹包問題抽象化

把揹包問題抽象化，Vi表示第 i 個物品的價值，Wj表示第 i 個物品的體積（重量），設dp[i][j]為揹包為j時前i個物品的總價值。
也就是說，dp[1]2]的值就是我們揹包為2時，裝入第一個物品時的總價值。
在這裡不得不說一句，我們的i，j最好是從1開始取值，因為在我們的遞推方程中，我們可以看到[j-1],[i-1],這時如果我們從0開始取值，我們就會發現出現陣列越界的現象。
在這裡可能會很難看出我們的狀態轉移方程，我們不妨打表來推出我們的dp陣列。（dp就是我們的遞推陣列，i表示物品，j表示揹包容量，dp值為總價值）
這樣我們就可以通過打表：
首先初始化邊界，dp(0,j)=dp(i,0)=0由於我們會用到dp[i-1][j-1],如果我們的i，j從0開始迭代，就容易出現越界，所以這裡我們通常迭代從1開始。

W0-W4是物品編號，M0-M8是揹包的容量，表中綠色區域表示dp值，即該揹包容量下，前n個物品可裝入的最大價值。

通過打表，當我們打到M3，W2時，我們發現一個問題，就是在dp[2][3],我們有兩種選擇：即容量為3，我們可以選W2，也可以選擇W1，因為dp為可裝入物品的價值的最大值，這是我們需要比較W1與W2的價值，選擇價值大的一個，如果價值W2>W1，則dp[2][3]=W2的價值,否則dp的值是W1的價值，在此時，我們可以看到W2>W1，所以我們填入W2的價值。

如此繼續打表

我們可以看到，當我們的揹包容量不足以裝下新的物品時，實際上它的值是相同揹包容量下，前n-1個物品的最大價值。即dp[i][j]=dp[i-1][j];
當可以裝下新加入的物品時，得到新的dp遞推公式。
但是在得到遞推公式之前我們需要知道，我們的dp[i][j]值是最大值，也就是說。我們需要比較，即max（dp[i][j-wi]+新物品的價值，dp[i-1][j]），取最值。
這樣，通過打表的方式，我們得到了遞推公式。
做到這裡，我們就已經將0-1揹包問題解決。
接下來我們來實現程式碼

int W[30],C[30];//w是物品重量，C是物品價值,測試數量不能超過30
int main()
{
    int,m,n;//m為揹包容量，n為物品數量
    scanf("%d%d",&m&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d%d",&w[i]&c[i]);
    }
    for(int i = 1;i<=n;i++){
        for(int j =1;j<=m;j++){
            if(j>w[i]){
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
            }else{
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+c[i]);
            }
        }
    }
}

程式碼優化

通過程式碼，我們實現了動態規劃解決0-1揹包問題。但是我們不難發現，這樣通過一個二維表十分的浪費空間，我們可不可以優化程式碼呢。

我們來看遞推公式，不難發現，實際上，
dp二維表可以化為一維表。
j > w[i]時，dp[i]=dp[i-1]
j < w[i]時，dp[j] = dp[j - w[i]] + v[i];

#include<stdio.h>
int main() {
    //動態規劃解0-1揹包問題
    //遞推公式：dp[j]=dp[j-w[i]]+v[i]
    int m, n;//m為揹包容量，n為物品數量,n小於20；
    int w[20], v[20],dp[20];//w[i]為第i件物品的重量，v[i]是第i件物品的價值,dp[]為遞推陣列
    scanf("%d %d", &m, &n); //m為揹包容量，n為物品數量,n小於20；
    for (int j = 0; j<= m; j++) {
        dp[j] = 0; //dp置零
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d %d", &w[i], &v[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = m; j >= 0; j--) {
            if (j >= w[i]) {
            dp[j] = dp[j - w[i]] + v[i];
            }
        }
    }
    printf("%d", dp[m]);
    return 0;
}

由此我們用動態規劃將0-1揹包問題講了個大概。

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