01揹包問題
有N件物品和一個容量為V的揹包。第i件物品的體積是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。
從這個題目中可以看出，01揹包的特點就是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。
其狀態轉移方程是：
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
填表
要理解上面的那個公式，需要學會填表。
假設
n=5, C=13, w={4,5,4,3,10}, v={9,10,9,2,24}
- P[2,5]的含義是考慮前兩個物品，裝體積為5 的價值是10，揹包體積就減少4，無法再裝下第一個物品。也可以放棄第二個物品裝第一個物品，價值是9，最大的是10。所以裝第二個物品。
- P[2,9]的含義是考慮前兩個物品，裝體積為5 的價值是10，揹包體積就減少4，還能再裝下第一個物品價值是9，總價值是19.另一種情況是捨棄第二件物品，直接裝第一件物品價值是9，價值明顯是裝兩件時候的大。
- P[3,8]的含義是若裝第三件物品價值加9，揹包容量減少4，問題就變成了P[2,4]查表就知道P[2,4]最大是價值9，所以總價值是18；另一種情況是捨棄第三件物品，問題就變成P[2,8],查表發現最大價值是10。10明顯沒有18大，所以最大價值就是18。
- P[3,9]的含義是若裝第三件物品價值加9，揹包容量減少4，問題就變成了P[2,4]查表就知道P[2,4]最大是價值9，所以總價值是18；另一種情況是捨棄第三件物品，問題就變成P[2,9],查表發現最大價值是19。19比18 大，所以最大值是19。
- P[3,13]的含義是若裝第三件物品價值加9，揹包容量減少4，問題就變成了P[2,9]查表就知道P[2,9]最大是價值19，所以總價值是28；另一種情況是捨棄第三件物品，問題就變成P[2,13],查表發現最大價值是19。28比19大，所以最大值是28。
公式說明
假如揹包要放第i件物品，
此時如果不放第i件物品，那麼問題就轉化為“前i-1件物品放入重量是w的揹包中”，價值為f[i-1,j]；
如果放第i件物品，那麼問題就轉化為“前i-1件物品放入剩下的重量為j-Wi的揹包中”，此時能獲得的最大價值就是f[i-1,j-Wi]再加上通過放入第i件物品獲得的價值Pi，此時只要比較f[i-1,j]和f[i-1,j-Wi]+Pi那個大就能獲取到揹包裡最大的價值是多少了。
程式碼
public class Test {
public static int getMaxValue(int[] weight, int[] value, int w, int n) {
// 建立一個二維陣列，橫列是物品的價值，豎列是物品的重量
int[][] table = new int[n + 1][w + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) { //物品
for (int j = 1; j <= w; j++) { //揹包大小
if (weight[i] > j) {
//當前物品i的重量比揹包容量j大，裝不下，肯定就是不裝
table[i][j] = table[i - 1][j];
} else {
//裝得下，Max{裝物品i， 不裝物品i}
table[i][j] = Math.max(table[i - 1][j], table[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}
return table[n][w];
}
public static void main(String[] args) {
int n = 5, w = 13; //物品個數，揹包容量
int[] value = {0,9,10,9,2,24}; //各個物品的價值
int[] weight = {0,4,5,4,3,10}; //各個物品的重量
System.out.println(getMaxValue(weight, value, w, n));
}
}