0-1揹包問題（動態規劃）

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
 
 
const int N=15;
 
 
int main()
{
    int v[N]={0,8,10,6,3,7,2};
    int w[N]={0,4,6,2,2,5,1};
 
 
    int m[N][N];
    int n=6,c=12;
    memset(m,0,sizeof(m));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=c;j++)
        {
            if(j>=w[i])
                m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);
 
 
            else
                m[i][j]=m[i-1][j];
        }
    }
 
 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=c;j++)
        {
            cout<<m[i][j]<<' ';
        }
        cout<<endl;
    }
 
 
    return 0;
}

問題描述：0-1揹包問題，給定n種物品，和一個容量為C的揹包，物品 i  的重量是W[ i ] ，價值為V[ i ] ，問：應該如何選擇裝入揹包的物品，使得裝入揹包中物品的價值最大？

要求，對於每一個物品，我們只能選擇拿與不拿，並不能裝入物品的一部分，也不能裝入多個同樣的物品。

解題思路：在給定空間C的情況下選擇 n 個物品中的某些物品，對於每一個物品只有拿與不拿。可以想象在選擇第i個物品時可以拿，也可以不拿，如果拿了第i個物品，這時候的價值可以等價於   用C-w[i]的空間選擇i-1個物品的價值 + v[ i ] 。 如果不拿，這時候的價值相當於利用C的空間選擇i-1個物品的價值（注意，不拿的情況下空間大，最優解不一定小於拿的情況。）。因此，對於第i個物品的選擇由前邊的兩種情況的最大值決定。（這中解題思路是一種逆向思維，是從後邊往前走的。而在計算時是由前往後計算的）

建立模型：宣告一個大小為m[ n ][ c ]的二維陣列，m[i][j]表示，在面對第i件物品的選擇時，利用j的空間選擇前i件物品能得到的最大值。根據上邊的分析很容易得到m[i][j]的計算方法。

（1）如果j < w [ i ] ,這時候揹包容量不足以放下第 i 件物品，只能選擇不拿，這時候對於m[i][j]的選擇只能有 m[ i - 1 ][ j ]（在j空間中對前i-1個物品進行最優選擇）所決定。

          m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]

（2）如果j<w[i],這時候揹包容量可以放下第i件物品，我們就要考慮放下這個物品能否創造最大價值，即第i件物品是否在最優解中，因此這時候我們就要比較

           m[ i - 1 ][ j ]  和  m[ i-1 ][ c - w[ i ] ] （在c - w[ i ] 的空間中面對i - 1 個物品進行最優選擇，這裡的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考慮了i-1件物品，揹包容量為j-w[i]時的最大價             值,也是相當於為第i件物品騰出了w[i]的空間。）大小來判斷 i 是否選擇，（而在實際計算中我們對於這兩項並不瞭解，因此需要從前往後計算）。

狀態轉移方程：

if(j>=w[i])
    m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);
else
    m[i][j]=m[i-1][j];

例：0-1揹包問題：(來源：https://blog.csdn.net/xp731574722/article/details/70766804)

        在使用動態規劃演算法求解0-1揹包問題時，使用二維陣列m[ i ][ j ]儲存     j 空間下面對 i 件物品的最優解  ，而使用動態規劃演算法求解時其實就是對二維陣列m[ i ][ j ]的繪製過程。

        價值陣列  V[ n ] = {8, 10, 6, 3, 7, 2}

        重量陣列  M[ n ] = {4, 6, 2, 2, 5, 1}            揹包容量為C = 12

        

(第一行和第一列為序號，其數值為0)
如m[2][6],在面對第二件物品，揹包容量為6時我們可以選擇不拿，那麼獲得價值僅為第一件物品的價值8，如果拿，就要把第一件物品拿出來，放第二件物品，價值10，那我們當然是選擇拿。m[2][6]=m[1][0]+10=0+10=10;依次類推，得到m[6][12]就是考慮所有物品，揹包容量為C時的最大價值。

程式碼實現：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
 
 
const int N=15;
 
 
int main()
{
    int v[N]={0,8,10,6,3,7,2};
    int w[N]={0,4,6,2,2,5,1};
 
 
    int m[N][N];
    int n=6,c=12;
    memset(m,0,sizeof(m));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=c;j++)
        {
            if(j>=w[i])
                m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);
 
 
            else
                m[i][j]=m[i-1][j];
        }
    }
 
 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=c;j++)
        {
            cout<<m[i][j]<<' ';
        }
        cout<<endl;
    }
 
 
    return 0;
}

到這一步，可以確定的是可能獲得的最大價值，但是我們並不清楚具體選擇哪幾樣物品能獲得最大價值。

另起一個 x[ ] 陣列，x[i]=0表示不拿，x[i]=1表示拿。

m[n][c]為最優值，如果m[n][c]=m[n-1][c] ,說明有沒有第n件物品都一樣，則x[n]=0 ; 否則 x[n]=1。當x[n]=0時，由x[n-1][c]繼續構造最優解；當x[n]=1時，則由x[n-1][c-w[i]]繼續構造最優解。以此類推，可構造出所有的最優解。

void traceback()
{
    for(int i=n;i>1;i--)
    {
        if(m[i][c]==m[i-1][c])
            x[i]=0;
        else
        {
            x[i]=1;
            c-=w[i];
        }
    }
    x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;
}

參考（https://blog.csdn.net/xp731574722/article/details/70766804）