主要介紹0-1揹包問題，及一些leetcode題解
0-1揹包問題
定義
有一個揹包，他的容量為C(Capacity)。現在有n中不同的物品，編號為0…n-1，其中每一件物品的重量為w(i)，價值為v(i)。問可以向這個揹包中盛放哪些物品，使得在不超過揹包容量的基礎上，物品的總價值最大。
解題思路
這類組合問題，我們都可以使用遞迴來完成。只是我們在其中能不能找到重疊子問題，最優子結構進而轉化成記憶化搜尋或動態規劃來解決。
對於這個問題，我們有兩個約束條件
- 首先我們要在n個物品裡選
- 第二點他的容量要小於等於一個給定的數值C。
狀態定義
注意這個問題要使用兩個變數來定義狀態。
F(n,C)考慮將n個物品放進容量為C的揹包，使得價值最大。
狀態轉移
對於F(i,c)，有兩種情況，將第i個物品加入和直接忽略第i個物品
F(i,C) = max{F(i-1, C), v(i) + F(i-1, C-w(i))}
複製程式碼程式碼實現
記憶化搜尋法
class Knapsack01{
private:
vector<vector<int>> memo;
// 用 [0...index]的物品,填充容積為c的揹包的最大價值
int bestValue(const vector<int> &w, const vector<int> v, int index, int c){
if( c <= 0 || index < 0 ) {
return 0;
}
if( memo[index][c] != -1 ) {
return memo[index][c];
}
int res = bestValue(w, v, index-1, c);
if( c >= w[index] ) {
res = max( res , v[index] + bestValue(w, v, index-1, c-w[index]) );
}
memo[index][c] = res;
return res;
}
public:
int knapsack01(const vector<int> &w, const vector<int> &v, int C){
assert( w.size() == v.size() && C >= 0 );
int n = w.size();
if( n == 0 || C == 0 )
return 0;
memo = vector<vector<int>>( n, vector<int>(C+1,-1));
return bestValue(w, v, n-1, C);
}
};
複製程式碼使用動態規劃自底向上解決
模擬一下，每個位置都由兩個位置決定
class Knapsack01{
public:
// 用 [0...index]的物品,填充容積為c的揹包的最大價值
int knapsack01(const vector<int> &w, const vector<int> &v, int C){
assert( w.size() == v.size() && C >= 0 );
if ( n == 0) {
return 0;
}
int n = w.size();
vector<vector<int>> memo( n, vector<int>(C+1,0));
for ( int j = 0; j <= C; j++ ) {
memo[0][j] = ( j >= w[0] ? v[0] : 0 );
}
for ( int i = 1; i < n; i++ ) {
for ( int j = 0; j <= C; j++ ) {
// 0~i這些物品容積為j的揹包獲得的最大值
memo[i][j] = memo[i-1][j];
if( j >= w[i] ) {
memo[i][j] = max( memo[i][j], v[i] + memo[i-1][j-w[i]]);
}
}
}
return memo[n-1][C];
}
};
複製程式碼0-1 揹包問題優化
分析
上面的0-1揹包問題的時間複雜度：O(nC),空間複雜度：O(nC)。
我們分析一下狀態轉移方程：F(i,C) = max{F(i-1, C), v(i) + F(i-1, C-w(i))}
第i行元素只依賴於第i-1行元素。理論上，只需要保持兩行元素。空間複雜度：O(2*C)=O(C)。
兩行輪流使用完成揹包問題
class Knapsack01{
public:
int knapsack01(const vector<int> &w, const vector<int> &v, int C){
assert( w.size() == v.size() && C >= 0 );
int n = w.size();
if( n == 0 && C == 0 )
return 0;
vector<vector<int>> memo( 2, vector<int>(C+1,0));
for( int j = 0 ; j <= C ; j ++ )
memo[0][j] = ( j >= w[0] ? v[0] : 0 );
for( int i = 1 ; i < n ; i ++ )
for( int j = 0 ; j <= C ; j ++ ){
memo[i%2][j] = memo[(i-1)%2][j];
if( j >= w[i] )
memo[i%2][j] = max( memo[i%2][j], v[i] + memo[(i-1)%2][j-w[i]]);
}
return memo[(n-1)%2][C];
}
};
複製程式碼繼續優化
只使用一行完成揹包問題，比較複雜：我們從右向左重新整理內容
程式碼實現
class Knapsack01{
public:
int knapsack01(const vector<int> &w, const vector<int> &v, int C){
assert( w.size() == v.size() && C >= 0 );
int n = w.size();
if( n == 0 || C == 0 )
return 0;
vector<int> memo(C+1,0);
for( int j = 0 ; j <= C ; j ++ )
memo[j] = ( j >= w[0] ? v[0] : 0 );
for( int i = 1 ; i < n ; i ++ )
for( int j = C ; j >= w[i] ; j -- )
memo[j] = max( memo[j], v[i] + memo[j-w[i]]);
return memo[C];
}
};
複製程式碼0-1揹包問題變種
- 多重揹包問題：每個物品不止1個，有num(i)個
- 完全揹包問題：每個物品可以無限使用
- 多維費用揹包問題：要考慮物品的體積和重量兩個維度
- 物品間加入更多約束：物品間可以相互排斥；也可以相互依賴
面試中的0-1揹包問題
leetcode 416. 分割等和子集
分析
典型的揹包問題，在n個物品中選出一定物品，填滿sum/2的揹包。
記憶化搜尋法
class Solution {
private:
// memo[i][c] 表示使用索引為[0...i]的這些元素,是否可以完全填充一個容量為c的揹包
// -1 表示為未計算; 0 表示不可以填充; 1 表示可以填充
vector<vector<int>> memo;
// 使用nums[0...index], 是否可以完全填充一個容量為sum的揹包
bool tryPartition(const vector<int> &nums, int index, int sum){
if( sum == 0 ) {
return true;
}
if( sum < 0 || index < 0 ) {
return false;
}
if( memo[index][sum] != -1 ) {
return memo[index][sum] == 1;
}
memo[index][sum] = (tryPartition(nums, index-1 , sum ) ||
tryPartition(nums, index-1 , sum - nums[index] ) ) ? 1 : 0;
return memo[index][sum] == 1;
}
public:
bool canPartition(vector<int>& nums) {
int sum = 0;
for( int i = 0 ; i < nums.size() ; i ++ ){
assert( nums[i] > 0 );
sum += nums[i];
}
if( sum%2 ) {
return false;
}
memo = vector<vector<int>>(nums.size(), vector<int>(sum/2+1,-1));
return tryPartition(nums, nums.size()-1 , sum/2 );
}
};
複製程式碼自底向上使用動態規劃
class Solution {
public:
bool canPartition(vector<int>& nums) {
int sum = 0;
for( int i = 0 ; i < nums.size() ; i ++ ){
assert( nums[i] > 0 );
sum += nums[i];
}
if( sum%2 ) {
return false;
}
int n = nums.size();
int C = sum / 2;
vector<bool> memo(C+1, false);
for ( int i = 0; i <= C; i++ ) {
memo[i] = ( nums[0] == i );
}
for ( int i = 1; i < n; i++ ) {
for ( int j = C; j >= nums[i]; j-- ) {
memo[j] = memo[j] || memo[ j - nums[i] ];
}
}
return memo[C];
}
};
複製程式碼相似問題
- leetcode 322
- leetcode 377
- leetcode 474
- leetcode 139
- leetcode 494
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