多重揹包動態規劃及空間優化

題目描述：

有n種物品，第 i 種物品的價值是vai，體積時voi，個每種物品的數量是有限的，為cnti

現有容量為w的揹包，請你放入若干物品，愛總體積不超過w的條件下，使總價值儘可能大

 

解題思路：

可以按01揹包問題的思路解決，其實01揹包問題就是特殊情況下的多重揹包

可以每次把cnti個物品逐個拆分，轉化為01揹包

狀態轉移方程為：

dp[i][j] = max( dp[i-1][j - vo[i]*k] + va[i]*k , dp[i][j])            0 <= k <=cnt[i]

 

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

int va[20],vo[20],cnt[20];
int dp[20][20];


int main()
{
	int n , w;
	scanf("%d %d",&n , &w);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf("%d %d %d",&va[i],&vo[i],&cnt[i]);
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for(int j = 0; j <= w; j++)
		{
			for(int k = 0; k < cnt[i]; k++)
			{
				if(j >= vo[i]*k)
				{
					dp[i][j] = max( dp[i-1][j-vo[i]*k] + va[i]*k , dp[i][j] );//每次將放入一個物品的最大總價值與之前的情況相比取較大的 
				}
			}
		}
	}
	printf("%d",dp[n][w]);
	
	return 0; 
} 

 

空間優化程式碼：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;


int va[20] , vo[20] , cnt[20];
int dp[20];

int main()
{
	int n , w;
	scanf("%d %d",&n , &w);
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
	{
		scanf("%d %d %d", &va[i] , &vo[i] , &cnt[i]);
	}
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
	{
		for(int j = w ; j >= 0 ; j--)
		{
			for(int k = 0 ; k <= cnt[i] ; k++)
			{
				if(j >= vo[i]*k)
				{
					dp[j] = max(dp[j - vo[i]*k] + va[i]*k , dp[j]);
				}
			} 
		}
	}
	printf("%d",dp[w]);
	
	return 0;
}