分割等和子集
分割等和子集
給你一個 只包含正整數 的 非空 陣列 nums 。請你判斷是否可以將這個陣列分割成兩個子集，使得兩個子集的元素和相等。
示例 1：
輸入：nums = [1,5,11,5]
輸出：true
解釋：陣列可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11]
示例 2：
輸入：nums = [1,2,3,5]
輸出：false
解釋：陣列不能分割成兩個元素和相等的子集。
提示：
1 <= nums.length <= 200
1 <= nums[i] <= 100
思路
題意分析
題目是要找是否可以將這個陣列分割成兩個子集，使得兩個子集的元素和相等。
那麼只要找到集合裡能夠出現 sum / 2 的子集總和，就算是可以分割成兩個相同元素和子集了。
例如示例1：
輸入元素總和是22，要分成兩個元素和相等的子集，那這兩個子集各自之和肯定都是11，即sum / 2
解題方法
既然這題出現在dp章節了，那肯定就是用dp來做了
但是，如果第一次遇見，應該怎麼確定適用dp來解呢？可以先嚐試分析一下題目，看看能不能把題目往這邊靠
比如，這題中，每個構成子集的每個元素只能使用一次（關鍵點1）
這個描述可以聯想到01揹包問題，那就嘗試去抽象一下：
本題可以轉換為一個01揹包問題，目標是給定一個陣列，用陣列中的元素去填滿一個容量為 sum / 2 的揹包（如果能填滿的話，就找到了題目要求的子集）
還不夠，還要繼續確定什麼是物品（物品重量），什麼是價值
顯然，能夠作為物品的只有陣列裡的元素了，那麼物品的重量就是元素數值，物品的價值也是元素數值
現在就把01揹包問題套進來了，當前問題的條件如下：
- 揹包的體積是 sum / 2
- 要放入揹包的物品是陣列元素，其重量為元素數值，重量也為元素數值
- 揹包中每個元素不可重複使用
- 如果揹包正好裝滿，那麼說明找到了總和為 sum / 2 的子集（有一種就行，不用最優）
ok，現在可以五部曲去分析了
五步走
以一維01揹包問題為模板來解題，詳見
1、確定dp陣列含義
回顧一下分析一維陣列的揹包問題時，dp[j]的定義：在容量為j時，揹包能裝下的物品的最大價值
根據上面的分析，本題中物品重量是陣列元素數值，物品價值還是陣列元素數值
那上面的定義可以改為：揹包總容量是j，放入物品後，揹包的最大重量為dp[j]
即本題dp陣列的含義
舉個例子，假設揹包容量為target，那麼dp[target]就是揹包裝滿時的重量
當dp[target] = target，揹包就裝滿了，此時變找到了題解子集
這裡會出現一種情況：在所給的揹包容量下，沒有物品能裝滿
什麼意思？舉個例子，輸入是陣列 [1, 5, 11, 5]，target是7
那麼，當dp[7]的時候，揹包只能放1、5，總價為6，沒放滿，顯然這不是我們需要的結果（不滿足dp陣列定義），不過好在我們是倒序遍歷，在之後的遍歷中，dp[6] = 6，滿足dp定義，並且我們也找到了一個滿足條件的子集[1,5]
2、確定遞推公式
其實可以直接套用一維dp陣列揹包問題的遞推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - wight[i]] + value[i])
本題中，物品重量和價值都是陣列元素，所以可以改成：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])
其含義是：
不放入物品時，容量為j的揹包最大的價值是dp[j];
放入物品時，容量為j - nums[i]的揹包所背的最大價值是dp[j - nums[i]];
3、確定如何初始化
還是參考一維揹包問題，當揹包容量為0，也就是dp[0]時，裡面不可能裝東西
因此，dp[0] = 0;
其他部分全部初始化為0（因為題目說了陣列元素全是正數），目的是為了防止倒序遍歷過程中，上一層的值與當前值疊加（詳見：一維dp陣列如何初始化）
又因為題目給了：每個陣列元素不會超過100，陣列本身的大小不會超過200，且元素總和不會超過20000
那麼建立dp陣列時只需要取一半的大小即可
vector<int> dp(10001, 0);
4、確定遍歷順序
都套一維dp陣列的揹包問題了，肯定是倒序遍歷
原因詳見：為什麼要倒序遍歷？
for(int i = 0; i < nums.size(); ++i){//遍歷物品
for(int j = target; j > 0; --j){//遍歷揹包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
}
程式碼
根據上面的分析可寫出一下程式碼
步驟：
1、求陣列的總和，用於求揹包容量target
2、判斷當前總和sum是否為偶數，不為偶數就直接返回false
3、根據題目提示定義dp陣列，同時進行初始化
4、倒序遍歷dp陣列，先遍歷物品，再遍歷揹包容量，計算dp[j]
5、判斷dp[target] 是否等於 target
class Solution {
public:
bool canPartition(vector<int>& nums) {
//求揹包容量，也就是target
//先定義一個sum用於求陣列總和
int sum = 0;
for(auto num : nums) sum += num;
//如果sum值不能均分(不是偶數)，那麼一定無法分為兩個和相等的子集，直接返回false
if(sum % 2 == 1) return false;
int target = sum / 2;
//定義dp陣列,同時初始化
vector<int> dp(10001, 0);
// //初始化dp陣列
// dp[0] = 0;
//遍歷dp陣列（注意是倒序遍歷）
for(int i = 0; i < nums.size(); ++i){//遍歷物品
// 如果當前揹包容量小於物品重量，換一個物品繼續遍歷容量
// 每一個元素一定是不可重複放入，所以從大到小遍歷
for(int j = target; j >= nums[i]; --j){//遍歷揹包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
}
//判斷是否滿足題意條件
if(dp[target] == target) return true;
return false;
}
};