動態規劃題目特點

1、計數

• 有多少種方式走到右下角
• 有多少種方法選出k個數使得和是sum

2、求最大值最小值

• 從左上角走到右下角路徑的最大數字和
• 最長上升子序列長度

3、求存在性

• 取石子游戲，先手是否必勝
• 能不能選出k個數使得和是sum

組成部分

一：確定狀態
（1）最後一步
（2）確定子問題
二：轉移方程
三：初始條件和邊界情況
四：計算順序

例題一：

有2元，5元，7元硬幣，求組合成27元硬幣所用最少硬幣數。

一：確定狀態

找出最後一步：最優策略是K枚硬幣a1，a2……ak加起來是27
最後一枚為ak，則前面的面值加起來是27-ak
子問題：最少用多少枚硬幣可以拼出27-ak

二：轉移方程

設狀態f[x]=最少用多少枚硬幣拼出x
對於任何x
f[x]=min{f[x-2]+1,f[x-5]+1,f[x-7]+1}

三：初始條件和邊界情況

• 初始條件：f[0]=0
• 定義f[-1]=f[-2]=…=正無窮

四：計算順序

從f[1]開始計算，當計算到f[x]時，f[x-2],f[x-5],f[x-7]都已經得到結果，可以計算

時間複雜度：

O(m×n)

class Solution {
public:
	int coinChange(vector<int> A, int M) {
		int n = A.size();
		vector<int> f(M+1,0);
		f[0] = 0;
		int i, k;
		for (i = 1; i <= M; ++i) {
			f[i] = INT_MAX;
			for (k = 0; k < n; ++k) {
				if (i >= A[k] && f[i - A[k]] != INT_MAX) {
					f[i] = Math.min{ f[i],f[i - A[k]] + 1 };
				}
			}
		}
		if (f[M] == INT_MAX) {
			return -1;
		}
		else {
			return f[M];
		}
		return 0;
	}
};