動態規劃法（六）雞蛋掉落問題（一）（egg dropping problem）

  繼續講故事~~
  這天，丁丁正走在路上，欣賞著路邊迷人的城市風景，突然發現前面的大樓前圍了一波吃瓜群眾。他好奇地湊上前去，想一探究竟，看看到底發生了什麼事情。
  原來本市的一位小有名氣的科學家正在這幢大樓進行一個實驗：某種材料的防護效能。他在大樓的底下鋪了一層這種防護材料，想拿雞蛋做實驗，將雞蛋從樓層掉下，看看雞蛋從哪一層掉下去會摔碎，以此測試該材料的防護效能。這就是著名的雞蛋掉落問題（egg dropping problem），即給定N個雞蛋和k層樓，試問至少需要幾次才能確定雞蛋從哪一層樓掉下去恰好摔碎。
  一聽到這個問題，他頓時感覺無從下手，沒有絲毫的頭緒。但他嘗試著先從最簡單的情形入手：

• 若雞蛋數N=0或者樓層數為0，則嘗試0次即可。
• 若雞蛋數N=1， 對於樓層數為k，最壞的情況為嘗試k次，因此至少需要k次才能確定雞蛋從哪一層樓掉下去恰好摔碎。

有了最基本的情形還不夠，對於其他的N，k並沒有給出答案。這時，他想到自己這幾天正在研究的演算法：動態規劃法，他想也許這個演算法可以幫上忙。假設用numdrops(N,k)表示該問題的解。則將雞蛋從x層扔下，有以下兩種情形：

• 雞蛋摔碎了，此時剩下N-1個雞蛋，需要考慮比x層低的樓層，即1,2,...,x-1層，因為比x層高的樓層扔下去必定也摔碎，故可不比考慮。因此，這個問題會被縮減到numdrops(N-1, x-1).
• 雞蛋沒有摔碎，此時剩下N個雞蛋，需要考慮比x層高的樓層，即x+1, x+2,...,k層，共有k-x層。因此，問題會被縮減到numdrops(N, k-x).

對於以上兩種情形，應該去兩者的最大值。同時，考慮到x=1,2,3,...,k， 因此有如下公式：

有了以上演算法，再加上如下初始情況:

• numdrops(0, x)=0, numdrops(x,0)=0.
• numdrops(1, x)=x.

就可以用動態規劃法求解該問題了。他迅速地寫下了Python程式碼：

import numpy as np

def solvepuzzle(n, k):
    numdrops = np.array([[0]*(k+1)]*(n+1))

    for i in range(k+1):
        numdrops[1, i] = i

    for i in range(2, n+1):
        for j in range(1, k+1):
            minimum = float('inf')

            for x in range(1, j+1):
                minimum = min(minimum, (1+max(numdrops[i, j-x], numdrops[i-1, x-1])))

            numdrops[i, j] = minimum

    print(numdrops)
    return numdrops[n,k]

t = solvepuzzle(3, 10)
print(t)

輸出結果如下：

[[ 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0]
 [ 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10]
 [ 0  1  2  2  3  3  3  4  4  4  4]
 [ 0  1  2  2  3  3  3  3  4  4  4]]
4

這樣就可以求出該問題的解了，比如4個雞蛋10層樓，則只需要3次即可。
  丁丁連忙把這個解答問題通過助手告訴了科學家。科學家聽後興奮不已，立馬叫丁丁過來討論。科學家對他說道：“你的解決方法是如此的巧妙，讓人歎為觀止，很難相信它是出自一個少年的腦袋中。但是，親愛的朋友，你能告訴我具體應該怎麼扔雞蛋呢？”
  丁丁聽了，又是歡喜又有點擔心，因為科學家又提出了一個問題。他看看了輸出的numdrops表格，立馬就有了主意。
  對於N=2，k=50的情形，numdrops(N,k)=10,給出的方案如下：

從哪一層扔雞蛋	雞蛋摔碎後的情形	次數
10	1->2->3->4->5->6->7->8->9	9+1=10
19	11->12->13->14->15->16->17->18	8+2=10
27	20->21->22->23->24->25->26	7+3=10
34	28->29->30->31->32->33	6+4=10
40	35->36->37->38->39	5+5=10
45	41->42->43->44	4+6=10
49	46->47->48	3+7=10
50		8

嘗試著對上表做說明：先從第10層扔下，若雞蛋摔了，則還剩一個雞蛋，依次從1,2,3...9層扔下，若雞蛋沒碎，則失去了一次嘗試機會，再將雞蛋從19層扔下，若雞蛋碎了，則還剩一個雞蛋，依次從11,12,...,18層扔下......

  對於N=4，k=20的情形，numdrops(N,k)=10,輸出的numdrops表如下：

[[ 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0]
 [ 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20]
 [ 0  1  2  2  3  3  3  4  4  4  4  5  5  5  5  5  6  6  6  6  6]
 [ 0  1  2  2  3  3  3  3  4  4  4  4  4  4  4  5  5  5  5  5  5]
 [ 0  1  2  2  3  3  3  3  4  4  4  4  4  4  4  4  5  5  5  5  5]]
5

首先找到numdrops(3,14)=4, 次數比5小一次， 層樓k儘可能大，則將雞蛋從15扔下，若雞蛋沒碎，則剩下3個雞蛋，探索4層樓，因為numdrops(3,14)=4，故能完成。若雞蛋碎了，則再找到numdrops(2,6)=3,則將雞蛋從7樓扔下，若雞蛋碎了，則情形轉化為numdrops(2,6)的情形，若雞蛋沒碎，則用剩下的雞蛋探索7層樓，是可以搞定的。
  當科學家看到這個結果後，滿意地點點頭，他想著是否要聘請這個少年來當自己的助手。不過，他決定再考驗丁丁一回~~
  未完待續~~

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