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總結：向量叉乘是誕生了一個新的方向，這個方向垂直於原向量組成的平面。點乘的好處是將高維降低到1維，可以在1個維度上討論數值問題。
如果1是點，那麼乘積是線，如果1是線段，那麼乘積是面積，如果1是向量，那麼乘積是帶有方向的面積，如果兩個帶有方向的面積相乘，那麼結果是產生了三維空間。
上幾篇《白話高中數學》聊完了向量怎麼來的、向量的基本概念，也知道了向量如何進行加法運算，今天我們一起聊聊向量的相乘問題。
從幾何角度來說，向量的加法遵從“三角形法則”和“平行四邊形法則”，也知道向量相加遵從加法交換律、分配率和結合律，那根據這個規則，如果有三個AB向量相加，就會是這樣：
這種計算稱為向量的數乘，也符合我們的基本認知，因為我們熟悉的數字運算就是這樣子：n個數相加，就等於這個數乘以n。
搞清楚了向量的加法和數乘，接下來就必須學習下向量相乘的問題。
兩個數相乘還是一個數，那兩個帶有方向的向量相乘會得到一個什麼結果呢？
我們的中學課本給出了一個向量相乘的公式，稱為向量的數量積，它說兩個向量相乘，其結果是一個數量，沒有方向。
也就是這個公式：
其中這個角是指兩個向量之間的夾角。
用文字解釋就是：兩個向量的數量積等於兩個向量的“模”相乘，然後再乘以兩個向量之間夾角的餘弦。
這看起來是一個很奇怪的定義，對不對？
首先兩個帶有方向的量相乘，得到的結果只是一個數量，方向卻憑空消失了？這樣顯得很神奇不是嗎？
它至少顛覆了我們最樸素的認知，覺得這裡面肯定有蹊蹺。
第二，兩個有向線段相乘只是讓它們之間的長度相乘，得到一個數也就罷了，還牽涉到兩個有向線段夾角的餘弦值，這個更讓人覺得莫名其妙。
兩向量相乘的數量積為什麼這麼定義？這樣定義的目的是什麼？
一系列問題縈繞在腦中，揮之不去。
課本的解釋很簡單，它用了物理上一個斜方向的力拉動一個木塊，最後木塊移動了一段位移，說力和位移這兩個向量的數量積就相當於力在水平方向上的分量對木塊做的功。
這解釋多少有點牽強，它們之間八竿子打不著啊？
用作用力的分量和位移乘積我還可以理解的，但方向去哪兒了？為什麼會憑空消失？
最讓人迷惑的是我們的數學老師，他們會非常賣力的拿這個課本上的物理現象類比，進行數學課堂上的講解，當看到同學們迷惑的眼神時，自己也會顯得不那麼自信，但最後說出的卻是“這麼簡單的問題你們怎麼就不明白呢？”這樣一句話。
可是我就是不明白呀，你要想讓我明白，最起碼你得告訴我，它們相乘之後的方向去哪了吧？
這個問題至少在中學課堂中沒有得到讓人滿意的回答。
這個問題的最後結局一般是這樣：老師會告訴你，向量的數量積就這麼規定的，你記住就行了。
別的不說，“向量的數量積就是這麼規定的”這句話還是相當靠譜的。
老師雖然沒有告訴你為什麼這麼規定，但他至少告訴了我們問題的實質，其實就是數學上“規定”的問題。
但為什麼這麼規定，大部分老師沒有說。即使有進一步解釋的，也是採用大學課程裡面的向量“點乘”和“叉乘”來雲裡霧裡一番，最後學生只能“哦哦哦”的樣子，把問題留待大學課程裡再解決。
其實，中學老師的這種解釋已經相當努力，相當靠譜了，他們只是沒有舉出一個讓中學生能夠理解的例子來輔助學生理解這個定義而已。
為了解釋清楚這個問題，我們先退回到對兩個數相乘的基本理解：
對於3乘以4，我們的理解其實有兩個方向：
1、 3*4，我們可以理解為4個3相加，最後的結果就是3*4=12。
這種解釋沒毛病。因為從數軸上看，結果就是如此，符合邏輯，非常直觀。
2、 我們現在跳出數軸的一維角度，從一個平面的二維角度來看，3*4也可以代表求一個長和寬分別為3和4的矩形的面積。
OK，也就是說，對兩個數相乘的結果的解釋，其實是存在兩個不同取向的：
在一維角度得到的是n個數相加；
在二維的角度得到是矩形平面的面積。
也就是說，即使是兩個只存在數軸上的一維空間的數量相乘，不但可以得到一維空間的數量，也可以擴充套件得到二維空間的數量。
那麼兩個既有數量又帶有方向的向量相乘，它們得到的結果，是不是也可以在不同的維度空間得到不同的解釋呢？
答案是肯定的。
兩個有方向的向量相乘，有兩種方式：
1、兩個向量可以是一維空間的向量（沒有夾角），也可以是二維空間的向量（有夾角），它們相乘得到的結果既可以一維空間的數量關係，也可以得到從二維空間擴充套件到三維空間的帶有方向的數量關係。
也就是說，兩個帶有方向的向量相乘的結果，也是有兩個取向的：
一個是相乘後從二維空間坍縮為一維空間的數量，不再帶有方向，就是我們中學課本的數量積的概念（稱為“點乘”或者“內積”）。
此時，就必須放棄向量這個有向線段的方向，只是把有向線段的長度相乘：
如果兩個向量同向，那它們本來都是一維空間，直接長度相乘就可以，不用坍縮。
如果兩個向量有夾角，那就把其中一個向量的長度和另一個向量在這個向量上的投影的長度相乘。
如圖：
這樣規定的目的只有一個：那就是我就要兩個向量相乘之後在一維空間的數量關係而已，其它的我不管。
這就是數量積如此定義的目的所在。
這樣強行規定的原因也很簡單：第一、 坍縮為一維空間之後，很多的數字運算規律在數量積的計算上依舊可用。
第二、 這種坍縮符合物理標量的計算，能解決能量和向量之間不可名狀的轉換問題。
比如力和位移相乘的結果就是一個不帶有方向的能量。
第三、 從純粹數學的角度來說，能透過這種坍縮標定兩個向量之間方向上的相似度。
如果是同向，那就是長度相乘；
如果有夾角，而且在銳角範圍內，結果就比長度相乘的結果小；
如果是直角，二者相乘結果為0，說明二者垂直，方向一點都不相似；
如果為負數，就說明二者方向方向夾角超過90度或者直接相反。
OK，說完了兩個向量相乘結果的坍縮為數量關係的一個取向，我們接著說另外一個：
兩向量相乘結果的另一種取向就和3*4擴充套件為二維空間的矩形面積一樣，從平面向量的二維空間，擴充套件到三維立體空間（稱之為“叉乘”或者“外積”）。
從這個意義上說，兩個向量相乘的結果就是一個帶有方向的量：
它的大小由這兩個向量在二維平面圍成的平行四邊形面積確定，它的方向使用右手定則確定，垂直於這兩個向量所在的二維平面。
也就是說，兩個向量叉乘的結果是這兩個向量決定的二維平面的法向量，它決定了一個在三維空間帶有方向的量，這個新的向量的模是兩個向量在二維平面構成的平行四邊形的的面積。
由於向量叉乘的內容不在我們中學學習的範圍之內，這裡就不再多說。
總之，向量的數量積只是一個定義，因為課本沒有解釋它的來源，造成了學生的很多困惑，但願本篇的這種解釋，能對大家解除這種迷惑有所幫助。
更多的白話高中數學知識點的內容，大家可以參看我的合集《白話高中數學》
感謝您的閱讀。