虛數的引入
\(x^2=-1\Rightarrow x=\pm\sqrt{-1}=\pm i\)
一個實數的平方不可能為\(-1\)，故引入虛數單位\(i\)，使\(i^2=-1\)
複數的兩種表示
座標表示：
\(Z=a+bi\)
三角函式表示：
\(a=\rho cos\theta, b=\rho sin\theta \Rightarrow Z=\rho(cos\theta+isin\theta)\)
複數的乘法
模相乘，角相加
\(\begin{align}
Z_1Z_2&=\rho_1(cos\theta_1+isin\theta_1)\rho_2(cos\theta_2+isin\theta_2)\\
&=\rho_1\rho_2[(cos\theta_1cos\theta_2-sin\theta_1sin\theta_2)+i(sin\theta_1cos\theta_2+cos\theta_1sin\theta_2)]//兩角和公式\\
&=\rho_1\rho_2[cos(\theta_1+\theta_2)+isin(\theta_1+\theta_2)]
\end{align}\)
由兩複數相乘的最終結果可以看出兩個複數的乘法為兩者的模相乘，輻角相加
乘以i旋轉90度
\(i\)用三角函式表示為：
\(i=cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2}\)
當一個複數乘以i，相當於輻角增加\(\frac{\pi}{2}\),即逆時針旋轉90度：
\(Zi=\rho[cos(\theta+\frac{\pi}{2})+isin(\theta+\frac{\pi}{2})]\)
\(e^x\)的特性
\(\frac{d(e^x)}{dx}=e^x\)
函式\(e^x\)的導數為其本身，即其變化率等於其本身，其越大其增長率便越大
\(e^0=1\)
尤拉公式
\(\frac{d(e^{i\theta})}{d\theta}=ie^{i\theta}\)
\(e^{i\theta}\)的變化率\(ie^{i\theta}\)相當於其本身大小逆時針旋轉90度
\(\theta\)初始值為0，此時\(e^{i\theta}=1\)，每當\(\theta\)發生變化產生增量\(\Delta e^{i\theta}\)時，\(e^{i\theta}\)變化率\(ie^{i\theta}\)的方向與其方向垂直，變化後新的\(e^{i\theta}\)沿圓周運動，當\(\theta\)繼續產生變化後，新的變化率\(ie^{i\theta}\)與其依然垂直，\(e^{i\theta}\)繼續沿圓周運動
某一時刻的\(e^{i\theta}\)可表示為\(e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta\quad(\rho=1)\)
尤拉公式應用
- 當\(\theta=\pi\)時，\(e^{i\pi}=-1, e^{i\pi}e^{i\pi}=e^{i2\pi}\Rightarrow(-1)(-1)=1\)
- \(e^{a+bi}=e^ae^{bi}=e^a(cosb+isinb)\\ x^{a+bi}=(e^{lnx})^{a+bi}=e^{alnx+bilnx}\)
- \(ln(a+bi)=ln(\rho e^{i\theta})=ln\rho+i\theta\)
- \(\begin{cases} e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta\\ e^{-i\theta}=cos\theta-isin\theta\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\\ cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\\ \end{cases}\)
參考
在3.14分鐘內理解e^iπ
深度解析（一）尤拉公式
虛數的意義