P2303 [SDOI2012] Longge 的問題

題意：求

推式子

$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^{n}gcd(i,n) \\ \sum _{d|n}d\sum _{i=1}^n[gcd(i,n)=d] \\ \sum _{d|n}d\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{n}{d})=1] \\ \sum _{d|n}d\varphi (\frac{n}{d}) \end{gathered}$$
第一個式子：題目。

第二個式子：我們加一個列舉，列舉n的因子d（因為$gcd(i,n)$一定是d的因子），然後統計$[1,n]$中有多少個$gcd(i,n)=d$，乘起來就是這個d對答案的貢獻，把每個d算一遍，就是答案了。

第三個式子：我們可以這樣理解$gcd(i,n)=d，等價於gcd(\frac{i}{d},\frac{n}{d})=1$，也就是我們可以在$[1,n/d]$列舉$i$,判斷有多少個$gcd(i,\frac{n}{d})=1$等價於在$[1,n]$列舉$i$判斷有多少個$gcd(i,n)=d$。

第四個式子：尤拉函式的定義。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll phi(ll x) {
	//根據尤拉函式的性質，求尤拉函式值
    ll n = x, res = x;
    if(x == 1 || x == 2) return 1;
    for(ll i=2; i*i<=x; i++) {
        if(n % i == 0) {
            res = res/i*(i-1);
            while(n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n > 1) res -= res/n;
    return res;
}
int main() {
    ll n, ans = 0;
    cin >> n;
    for(ll i=1; i*i<=n; i++) {//列舉n的每個因子
        if(n % i == 0) {
            ans += phi(i)*(n/i);
            //如果i*i != n，i和n/i就不相等了，就可以都加起來，不然的話只能加一遍。
            if(n/i != i) ans += phi(n/i)*i;
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

End