HDU4652 Dice(期望dp推式子)

題目連結

第一問,求連續$n$個數字相同的期望

定義$dp[i]$是已經$i$個不相同,到達目標狀態的期望

$dp[n-1]=\frac{1}{m}\ast dp[n]+\frac{m-1}{m}\ast dp[1]+1$

$dp[n-2]=\frac{1}{m}\ast dp[n-1]+\frac{m-1}{m}\ast dp[1]+1$

…

$dp[i]=\frac{1}{m}\ast dp[i+1]+\frac{m-1}{m}\ast dp[1]+1$

那麼$dp[i]-dp[i-1]=\frac{1}{m}(dp[i+1]-dp[i])$

那麼如果令$d_i=dp[i]-dp[i-1]$,不就是公比為$m$的等比數列嗎?

$d_n=dp[1]-dp[0]=-1$

$\sum _{i=1}^n{d}_i=-dp[0]$(錯位相減法)

所以可以等比數列求和快速解得

第二問,求連續n個數不相同的概率

定義$dp[i]$為已經$i$個不相同,到達目標的期望

$dp[i]=\frac{m-i}{m}\ast dp[i+1]+\frac{1}{m}\sum _{j=1}^{i}dp[j]$

$dp[i+1]=\frac{m-i-1}{m}\ast dp[i+2]+\frac{1}{m}\sum _{j=1}^{i+1}dp[j]$

讓$dp[i]-dp[i+1]$得到

$$dp[i]-dp[i+1]=\frac{m-i}{m}\ast dp[i+1]-\frac{m-i+1}{m}\ast dp[i+2]-\frac{1}{m}\ast dp[i+1]$$

$$dp[i]-dp[i+1]=\frac{m-i-1}{m}(dp[i+1]-dp[i+2])$$

$dp[0]-dp[1]=1$

$dp[1]-dp[2]=\frac{m}{m-1}$

$dp[2]-dp[3]=\frac{m}{m-1}\ast \frac{m}{m-2}$

…

把上面所有等式相加得到

$dp[0]-dp[n]=1+\frac{m}{m-1}+\frac{m}{m-1}\ast \frac{m}{m-2}....$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t;
int quick_pow(int x,int n)
{
	int ans=1;
	while( n )
	{
		if( n&1 )	ans=ans*x;
		n>>=1;
		x=x*x;
	}	return ans;
}
int main()
{
	while( cin >> t )
	{
		while( t-- )
		{
			int ok,m,n;
			cin >> ok >> m >> n;
			if( ok )
			{
				double ans=1,temp=1;
				for(int i=1;i<=n-1;i++)
				{
					temp*=m*1.0/(m-i);
					ans+=temp;
				}
				printf("%.6lf\n",ans);
			}
			else
			{
				double ans=(1.0-quick_pow(m,n))/(1.0-m);
				printf("%.6lf\n",ans);
			}
		}
	}
}