洛谷P1291 [SHOI2002]百事世界盃之旅(期望DP)

weixin_34391854發表於2018-03-31

題目描述

“……在2002年6月之前購買的百事任何飲料的瓶蓋上都會有一個百事球星的名字。只要湊齊所有百事球星的名字，就可參加百事世界盃之旅的抽獎活動，獲得球星揹包，隨聲聽，更克赴日韓觀看世界盃。還不趕快行動！”

你關上電視，心想：假設有n個不同的球星名字，每個名字出現的概率相同，平均需要買幾瓶飲料才能湊齊所有的名字呢？

輸入輸出格式

輸入格式：

 

整數n（2≤n≤33），表示不同球星名字的個數。

 

輸出格式：

 

輸出湊齊所有的名字平均需要買的飲料瓶數。如果是一個整數，則直接輸出，否則應該直接按照分數格式輸出，例如五又二十分之三應該輸出為（複製到記事本）：

3 5-- 20 第一行是分數部分的分子，第二行首先是整數部分，然後是由減號組成的分數線，第三行是分母。減號的個數應等於分母的為數。分子和分母的首位都與第一個減號對齊。

分數必須是不可約的。

 

輸入輸出樣例

輸入樣例#1： 複製 
2
輸出樣例#1： 複製 
3

 

 

說一種和樓上不一樣的狀態(本質是一樣的)

我們用$f(i)$表示一共用$n$個不同的球星，已經收集到$i$個不同的球星

考慮轉移，有兩種狀態

1. 買到不同時轉移而來，概率為
$$\frac{n-i}{n}f(i-1)$$
2. 買到相同時轉移而來，概率為
$$\frac{i}{n}f(i)$$

那麼總共的情況就是
$$f(i)=\frac{n-i}{n}f(i-1)+\frac{i}{n}f(i)+1$$

化簡得到

$$f(i)=f(i-1)+\frac{n}{n-i}$$

這個公式實際是在計算

$$n*\sum_1^n{\frac{1}{n-i}}$$

然後暴力算就可以了

#include<cstdio>
#define int long long int
int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
int calc(int x)
{
    int base=0;
    while(x) base++,x/=10;
    return base;
}
main()
{
    int N;
    scanf("%lld",&N);
    int up=1,down=N;
    for(int i=N-1;i>=1;i--)
    {
        up=up*i+down;down=down*i;
        int r=gcd(up,down);
        up/=r;down/=r;
    }
    up=up*N;
    int r=gcd(up,down);
    up/=r;down/=r;
    if(up%down==0) {printf("%lld",up/down);return 0;}
    int numa=calc(up/down),numb=calc(down);
    for(int i=1;i<=numa;i++) printf(" ");printf("%lld",up%down);puts("");//分子
    if(up/down>1) printf("%lld",up/down);for(int i=1;i<=numb;i++) printf("-");puts("");//注意這裡要特判
    for(int i=1;i<=numa;i++) printf(" ");printf("%lld",down);
    return 0;
}

 

 

 







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