洛谷 P4093 [HEOI2016/TJOI2016]序列 CDQ分治優化DP
題目描述
佳媛姐姐過生日的時候，她的小夥伴從某寶上買了一個有趣的玩具送給他。
玩具上有一個數列，數列中某些項的值可能會變化，但同一個時刻最多隻有一個值發生變化。現在佳媛姐姐已經研究出了所有變化的可能性，她想請教你，能否選出一個子序列，使得在任意一種變化中，這個子序列都是不降的？請你告訴她這個子序列的最長長度即可。
輸入格式
輸入的第一行有兩個正整數 \(n,m\)，分別表示序列的長度和變化的個數。
接下來一行有 \(n\) 個整數，表示這個數列原始的狀態。
接下來 \(m\) 行，每行有 \(2\) 個整數 \(x,y\)，表示數列的第 \(x\) 項可以變化成 \(y\) 這個值。
輸出格式
輸出一個整數，表示對應的答案。
輸入輸出樣例
輸入 #1
3 4
1 2 3
1 2
2 3
2 1
3 4
輸出 #1
3
說明/提示
注意：每種變化最多隻有一個值發生變化。
在樣例輸入中，所有的變化是：
1 2 3
2 2 3
1 3 3
1 1 3
1 2 4
選擇子序列為原序列，即在任意一種變化中均為不降子序列。
對於 \(20\%\) 資料，所有數均為正整數，且小於等於 \(300\)。
對於 \(50\%\) 資料，所有數字均為正整數，且小於等於 \(3000\)。
對於 \(100\%\) 資料，所有數字均為正整數，且小於等於 \(10^5\)。\(1\le x\le n\)。
分析
我們設\(min[i]\)為處在位置\(i\)上的數變化得到的最小值，\(max[i]\)為處在位置\(i\)上的數變化得到的最大值，\(f[i]\)為以\(i\)結尾的最長上升子序列的長度
則\(f[i]=max(f[i],f[j]+1),j<i,max[j] \leq i,min[i] \geq j\)\
我們會發現這是一個三位偏序問題，可以用\(CDQ\)分治優化
程式碼
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
inline int read(){
int x=0,fh=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9'){
if(ch=='-') fh=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0' && ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*fh;
}
const int maxn=1e6+5;
int f[maxn],a[maxn],mmax[maxn],mmin[maxn],tr[maxn],n,m;
int lb(int xx){
return xx&-xx;
}
void ad(int wz,int val){
for(int i=wz;i<maxn;i+=lb(i)){
tr[i]=std::max(tr[i],val);
}
}
int cx(int wz){
int ans=0;
for(int i=wz;i>0;i-=lb(i)){
ans=std::max(tr[i],ans);
}
return ans;
}
void qk(int wz){
for(int i=wz;i<maxn;i+=lb(i)){
tr[i]=0;
}
}
int tot=1,id[maxn];
bool cmp1(int aa,int bb){
return a[aa]<a[bb];
}
bool cmp2(int aa,int bb){
return mmin[aa]<mmin[bb];
}
void solve(int l,int r){
if(l==r) return;
int mids=(l+r)>>1;
solve(l,mids);
for(int i=l;i<=r;i++) id[i]=i;
std::sort(id+l,id+mids+1,cmp1);
std::sort(id+mids+1,id+r+1,cmp2);
int now=l;
for(int i=mids+1;i<=r;i++){
while(a[id[now]]<=mmin[id[i]] && now<=mids){
ad(mmax[id[now]],f[id[now]]);
now++;
}
f[id[i]]=std::max(f[id[i]],cx(a[id[i]])+1);
tot=std::max(tot,f[id[i]]);
}
for(int i=now-1;i>=l;i--){
qk(mmax[id[i]]);
}
solve(mids+1,r);
}
int main(){
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i]=read();
mmax[i]=mmin[i]=a[i];
f[i]=1;
}
for(int i=1;i<=m;i++){
int aa,bb;
aa=read(),bb=read();
mmax[aa]=std::max(mmax[aa],bb);
mmin[aa]=std::min(mmin[aa],bb);
}
solve(1,n);
printf("%d\n",tot);
return 0;
}