洛谷題單指南-分治與倍增-P1226 【模板】快速冪

原題連結：https://www.luogu.com.cn/problem/P1226

題意解讀：快速冪模版題。

解題思路：

1、分治法

要計算a^b，可以對b分情況討論：

如果b是偶數，即b = 2t，a^b = a^t * a^t

如果b是奇數，即b = 2t + 1，a^b = a * a^t * a^t

很容易用遞迴實現

100分程式碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a, b, p;

//計算x^y%p
int ksm(int x, int y)
{
    if(y == 0) return 1 % p;
    int t = ksm(x, y / 2);
    if(y % 2 == 0) return 1ll * t * t % p;
    else return 1ll * x * t % p * 1ll * t % p;
}

int main()
{
    cin >> a >> b >> p;
    printf("%d^%d mod %d=%d", a, b, p, ksm(a, b));
}

2、倍增法

基於任意整數都可以轉換成若干個2的次冪之和，如14 = 2^1 + 2^2 + 2^4

這樣一來，計算a^b，如果b=14，可以變成計算a^(2^1 + 2^2 + 2^4)

由於15用二進位制表示為1110，因此可以透過移位操作來列舉14的每一個2的次冪，累乘即可

每移位一次，指數的二進位制位置所表示的值都是之前的2倍，要累乘的值a = a * a，如果當前位是1，說明需要累乘，如果當前位為0，說明不需要累乘

下面模擬一下過程：

設結果res = 1，計算a^14

第一次：判斷1110 & 1 == 0，不需要累乘， 1110右移一位變成111，a = a * a，這時a是初始a^2，res = 1

第二次：判斷111 & 1 == 1, 需要累乘，res = res * a， 111右移一位變成11，a = a * a，這時a是初始a^4，res = 初始a^2

第三次：判斷11 & 1 == 1，需要累乘，res = res * a，11右移一位變成1，a = a * a，這時a是初始a^8，res = 初始a^2*初始a^4

第四次：判斷1 & 1 == 1，需要累乘，res = res * a，1右移一位變成0，結束，res = 初始a^2 * 初始a^4 * 初始a^8 = 初始a^14

100分程式碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a, b, p;

//計算x^y%p
int ksm(int x, int y)
{
    int res = 1;
    while(y)
    {
        if(y & 1) res = 1ll * res * x % p;
        y = y >> 1;
        x = 1ll * x * x % p;
    }
    return res;
}

int main()
{
    cin >> a >> b >> p;
    printf("%d^%d mod %d=%d", a, b, p, ksm(a, b));
}