洛谷題單指南-集合-P1551 親戚

江城伍月發表於2024-03-20

原題連結：https://www.luogu.com.cn/problem/P1551

題意解讀：要判斷兩人是否是親戚，只需要看兩人是否屬於一個集合，基於所有已知的親戚關係，可以建立多個有親戚關係的集合，這個過程可以藉助並查集。

解題思路：

並查集：

1、定義

並查集是一種樹形資料結構，本質上是多棵樹，每棵樹表示一個集合，主要提供兩種操作：

  • 查詢某個元素屬於哪個集合
  • 將兩個元素所屬的集合合併

2、原理

並查集主要採用陣列模擬樹的雙親表示法，如對於1~5的元素建立並查集，可以定義陣列int p[6]，陣列的值p[i]表示元素i的父節點

初始時，每個元素的值等於自身p[i] = i，說明每個元素的父節點都是自己，各自構成一個集合。

3、查詢

當要查詢x所屬的集合，集合的編號是x所在樹的根節點，只需要如下操作：

int find(int x)
{
    while(p[x] != x ]) x = p[x];
    return x;
}

通常寫成遞迴形式

int find(int x)
{
    if(p[x] == x) return x;
    return find(p[x]);
}

4、合併

當要將x、y所屬的集合合併，只需要如下操作：

void merge(int x, int y)
{
    p[find(x)] = find(y);
}

即將x所在集合的根節點的父節點設定為y所在集合的根節點

舉例：

初始時1~5的元素形成5個集合

洛谷題單指南-集合-P1551 親戚

合併2,3，merge(2, 3), 變成4個集合

洛谷題單指南-集合-P1551 親戚

合併1,2，merge(1, 2), 變成3個集合

洛谷題單指南-集合-P1551 親戚

在判斷1、3是否屬於同一個集合時，只需要判斷1、3所在集合的根節點是否相同

if(find(1) == find(3))

5、路徑壓縮

接上圖，如果執行merge(4, 1)，變成2個集合

洛谷題單指南-集合-P1551 親戚

在find(4)時，需要先找到p[4] = 1，再找到p[1] = 2，p[2] = 3，如果這個鏈路很長，每次操作就比較耗時

路徑壓縮本質上就是在一次find之後，把從4開始向上一條鏈上的節點的父節點都直接指向根節點3，這樣以後再查詢元素的集合時只需要一次查詢即可

具體來說，就是在find內將遞迴函式的返回值進行賦值：

int find(int x)
{
    if(p[x] == x) return x;
    return p[x] = find(p[x]);
}

這樣可以保證在find(x)時將x到根節點鏈路上所有的節點都指向根節點，如find(4)之後：

洛谷題單指南-集合-P1551 親戚

1/2/4的父節點直接指向3，後續的find操作就比較快了。

並查集的原理介紹到這裡，下面實現本題程式碼。

100分程式碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 5005;

int p[N];
int n, m, q;

int find(int x)
{
    if(p[x] == x) return x;
    return p[x] = find(p[x]);
}

void merge(int x, int y)
{
    p[find(x)] = find(y);
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> q;
    int i, j;
    //初始化
    for(int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;

    while(m--)
    {
        cin >> i >> j;
        merge(i, j);
    }
    while(q--)
    {
        cin >> i >> j;
        if(find(i) == find(j)) cout << "Yes" << endl;
        else cout << "No" << endl;
    }
    return 0;
}

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