洛谷題單指南-常見最佳化技巧-P1714 切蛋糕

五月江城發表於2024-09-10

原題連結：https://www.luogu.com.cn/problem/P1714

題意解讀：求長度不超過m的最大子段和

解題思路：

1、暴力法

設a[N]表示原陣列，s[N]是a[N]的字首和，對於每一個元素s[i]，計算其與前m個元素之差，取差值最大值，用程式碼表示：

for(int i = 1; i <= n; i++)
{
    for(int j = i - 1; j >= i - m && j >= 0; j--)
    {
        ans = max(ans, s[i] - s[j]);
    }
}

76分程式碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 500005;
int n, m;
int a[N], s[N];
int ans = INT_MIN;

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + a[i];

    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = i - 1; j >= i - m && j >= 0; j--)
        {
            ans = max(ans, s[i] - s[j]);
        }
    }

    cout << ans;
    return 0;
}

2、單調佇列最佳化

仔細觀察一下暴力法的程式碼：

洛谷題單指南-常見最佳化技巧-P1714 切蛋糕

此段程式碼可以改寫成：

for(int i = 1; i <= n; i++)
{
    int minx = INT_MAX;
    for(int j = i - 1; j >= i - m && j >= 0; j--)
    {
       minx = min(minx, s[j]);
    }
    ans = max(ans, s[i] - minx);
}

進一步觀察程式碼：

洛谷題單指南-常見最佳化技巧-P1714 切蛋糕

紅色框部分是要在長度為m的視窗內找最小值，因此可以採用單調佇列來最佳化

100分程式碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 500005;
int n, m;
int a[N], s[N];
int ans = INT_MIN;
int q[N], head = 0, tail = -1;

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + a[i];

    for(int i = 0; i <= n; i++) //需要注意的是，i需要從0開始，這樣佇列第一個元素可能是0,是為了保證區間和正確：s[r]-s[l-1]
    {
        while(head <= tail && i - q[head] > m) head++;
        while(head <= tail && s[i] <= s[q[tail]]) tail--;
        ans = max(ans, s[i] - s[q[head]]);
        q[++tail] = i;
    }

    cout << ans;
    return 0;
}

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