CDQ分治學習筆記
前言
之前在gdkoi講解是有人用 \(CDQ\) 分治A了day1 T3。好像分治FFT要用到，而且其他人都學過了，所以蒟蒻再次惡補一手之前的知識點。
\(CDQ\) 顯然是一個人的名字，陳丹琪（NOI2008金牌女選手）。
CDQ分治思想
分治就是分治，“分而治之”的思想。
顯然CDQ分治不是普通的分治
因為這一類問題又有一個共同特點就是 左區間會對右區間產生貢獻 。
我們一般要先求左區間的答案，然後再求左區間對右區間的貢獻，最後求右區間的答案。
前置知識：歸併排序求逆序對，不會的可以看一下這個。
樹狀陣列 也要用到一點。
例題
1、翻轉對
然後我們看一下這一題：翻轉對。
題目傳送門
題⽬描述
給定⼀個⻓度為 \(n\) 的陣列 \(nums\) ,如果 \(i < j\) 且 \(nums[i] > 2 * nums[j]\), 我們就將 \((i , j)\) , 稱作⼀個重要翻轉對。你需要返回給定陣列中的重要翻轉對的數量。
資料規模
\(n ≤ 100000\)
分析
很明顯這還只是普通的分治
這題用一個簡單的歸併排序就可以完成，思路差不多，在歸併排序求逆序對的程式碼稍微改一下，把逆序對變成了翻轉對⽽已。
code
很明顯這是網上抄的，主要是我的力扣賬號忘記密碼了
class Solution{
private int cnt;
public int reversePairs(int[] nums){
int len=nums.length;
sort(nums, Arrays.copyOf(nums, len),0,len-1);
return cnt;
}
private void sort(int[] src,int[] dest,int s,int e){
if (s>=e){
return;
}
int mid=(s+e)>>1;
sort(dest,src,s,mid);
sort(dest,src,mid+1,e);
merge(src,dest,s,mid,e);
}
private void merge(int[] src,int[] dest,int s,int mid,int e) {
int i=s,j=mid+1,k=s;
while (i<=mid&&j<=e){
if((long)src[i]>2*((long)src[j])){
cnt+=mid-i+1;
j++;
}
else{
i++;
}
}
i=s;
j=mid+1;
while(i<=mid&&j<=e){
if (src[i]<=src[j]){
dest[k++]=src[i++];
}
else{
dest[k++]=src[j++];
}
}
while(i<=mid){
dest[k++]=src[i++];
}
while(j<=e){
dest[k++]=src[j++];
}
}
}
P3810 三維偏序（陌上花開）
題目傳送門
這道題應該是學過 \(CDQ\) 分治的人都做過了（畢竟是版題，還是紫色的）。
有 $ n $ 個元素，第 $ i $ 個元素有 $ a_i,b_i,c_i $ 三個屬性，設 $ f(i) $ 表示滿足 $ a_j \leq a_i $ 且 $ b_j \leq b_i $ 且 $ c_j \leq c_i $ 且 $ j \ne i $ 的 \(j\) 的數量。
對於 $ d \in [0, n) $，求 $ f(i) = d $ 的數量。
輸入格式
第一行兩個整數 $ n,k $，表示元素數量和最大屬性值。
接下來 $ n $ 行，每行三個整數 $ a_i ,b_i,c_i $，分別表示三個屬性值。
輸出格式
$ n $ 行，第 $ d + 1 $ 行表示 $ f(i) = d $ 的 $ i $ 的數量。
樣例 #1
樣例輸入 #1
10 3
3 3 3
2 3 3
2 3 1
3 1 1
3 1 2
1 3 1
1 1 2
1 2 2
1 3 2
1 2 1
樣例輸出 #1
3
1
3
0
1
0
1
0
0
1
提示
$ 1 \leq n \leq 10^5$，$1 \leq a_i, b_i, c_i \le k \leq 2 \times 10^5 $。
分析
這題是一個三維偏序，我們先看一下把它轉換成二維偏序 \(a_j \leq a_i\) \(b_j \leq b_i\) 時怎麼做。
我們把 \(a\) 為第一關鍵字排序，然後用樹狀陣列動態維護維護 \(b_j \leq b_i\) 的個數，時間複雜度：\(O(n\log_2 n)\)
然後考慮本題。
我們還是將 \(a\) 陣列為第一關鍵字，\(b\) 陣列為第二關鍵字，\(c\) 陣列為第三關鍵字排序。
然後用類似於普通分治的方法，將 \([l , r]\) 分成 \([l , mid]\) \([mid + 1 , r]\) 兩個區間。兩個區間內部按照 \(b\) 陣列為第一關鍵字，\(c\) 陣列為第二關鍵字排序，然後同時遍歷兩個子區間，利⽤樹狀陣列將左區間對右區間的貢獻統計到右區間上。
可能有點難懂，大家可以看一下程式碼 感性 理解一下，還是比較簡單的。
code
#include <bits/stdc++.h>
#define fu(x , y , z) for(int x = y ; x <= z ; x ++)
#define LL long long
#define fd(x , y , z) for(int x = y ; x >= z ; x --)
using namespace std;
const int N = 2e5 + 5;
int n , k , tr[N] , ans[N] , m;
struct note {
int cnt , a , b , c , ans;
}s1[N] , s2[N];
int read () {
int val = 0 , fu = 1;
char ch = getchar ();
while (ch < '0' || ch > '9') {
if (ch == '-') fu = -1;
ch = getchar ();
}
while (ch >= '0' && ch <= '9') {
val = val * 10 + (ch - '0');
ch = getchar ();
}
return val * fu;
}
bool comp1 (note x , note y) {
if (x.a != y.a) return x.a < y.a;
if (x.b != y.b) return x.b < y.b;
if (x.c != y.c) return x.c < y.c;
}
int lowbit (int x) { return x & (-x); }
bool comp2 (note x , note y) {
if (x.b != y.b) return x.b < y.b;
return x.c < y.c;
}
void Insert (int val , int sum) {
int i = val;
while (i <= k) {
tr[i] += sum;
i += lowbit(i);
}
}
int query (int x) {
int sum = 0;
while (x) {
sum += tr[x];
x -= lowbit (x);
}
return sum;
}
void cdq (int l , int r) {
if (l == r) return;
int mid = l + r >> 1;
cdq (l , mid) , cdq (mid + 1 , r);
sort (s2 + l , s2 + mid + 1 , comp2);
sort (s2 + mid + 1 , s2 + r + 1 , comp2);
int j = l;
fu (i , mid + 1 , r) {
while (s2[i].b >= s2[j].b && j <= mid) {
Insert (s2[j].c , s2[j].cnt);
j ++;
}
s2[i].ans += query (s2[i].c);
}
fu (i , l , j - 1)
Insert (s2[i].c , -s2[i].cnt);
}
int main () {
n = read () , k = read ();
fu (i , 1 , n)
s1[i].a = read () , s1[i].b = read () , s1[i].c = read ();
sort (s1 + 1 , s1 + n + 1 , comp1);
int t = 0;
s1[n + 1] = {0 , 0 , 0 , 0 , 0};
fu (i , 1 , n) {
t ++;
if (s1[i].a != s1[i + 1].a || s1[i].b != s1[i + 1].b || s1[i].c != s1[i + 1].c) {
s2[++ m] = s1[i];
s2[m].cnt = t;
t = 0;
}
}
cdq (1 , m);
fu (i , 1 , m)
ans[s2[i].cnt + s2[i].ans - 1] += s2[i].cnt;
fu (i , 0 , n - 1)
printf ("%d\n" , ans[i]);
return 0;
}