洛谷P6786

yuzhongrun發表於2024-08-03

題目

原題連結

https://www.luogu.com.cn/problem/P6786

題目描述

小 A 有一個長度為 n 的序列 a_1, a_2, ..., a_n。
他想從這些數中選出一些數 b_1, b_2, ..., b_k 滿足：對於所有 i (1 <= i <= k)，b_i 要麼是序列 b 中的最大值，要麼存在一個位置 j 使得 b_j > b_i 且

b_i + b_j + gcd(b_i, b_j) = lcm(b_i, b_j)

如果你不知道 gcd 和 lcm 是什麼，可以點選最底部的「幫助/提示」部分的連結。
小 A 想讓選出的數之和儘量大。請求出這個最大值。

輸入格式

第一行一個整數 n，表示序列的長度。

第二行 n 個整數 a_1, a_2, ..., a_n。

輸出格式

輸出一行一個整數表示答案。

結論 1

對於任意 x 和 y 滿足

x + y + gcd(x, y) = lcm(x, y)

總有 x = (3/2) * y 或 y = (3/2) * x。

證明 1

不妨設 x <= y。當 x = y 時，原式不成立，因此 x < y。

因為 x < y，所以 gcd(x, y) < y。從而：

x + y + gcd(x, y) < 3y

又因為：

x + y + gcd(x, y) > y

且 lcm(x, y) 是 y 的整數倍。因此：

x + y + gcd(x, y) = 2y

所以：

lcm(x, y) = 2y

由 lcm(x, y) * gcd(x, y) = x * y 可得：

x * y = 2y * gcd(x, y)

從中得到：

gcd(x, y) = x / 2

代入原式：

x + y + (x / 2) = 2y

解得：

x = (3/2) * y

或

y = (3/2) * x

推論 1.1

根據結論 1，對於每個偶數 x，滿足 x + y + gcd(x, y) = lcm(x, y) 且大於 x 的 y 有且只有一個，即 y = (3/2) * x。對於奇數，則不存在這樣的 y。

根據上面的結論，我們很容易得出，如果將選出來的數從小到大排序，去重，滿足：

b_i = (3/2) * b_{i+1} (1 <= i < k)

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<ll> k(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> k[i];
    
    sort(k.begin(), k.end(), greater<ll>());
    map<ll, ll> M;
    
    // 初始化只有一個數字的情況
    for (int i = 0; i < n; ++i) M[k[i]] += k[i];
    
    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
        // 相同數字重複計算跳過
        if (i < n - 1 && k[i] == k[i + 1]) continue;
        
        // 奇數明顯不行
        if (k[i] % 2 != 0) continue;
        
        ll t = k[i] / 2 * 3;
        
        // 可以狀態連線到前面
        if (M.find(t) != M.end()) {
            M[t] += M[k[i]];
        }
    }
    
    // 輸出最大值
    ll res = 0;
    for (const auto& entry : M) {
        res = max(res, entry.second);
    }
    cout << res << endl;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    solve();
    return 0;
}

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