機率
基礎知識不寫了，反正應該知道的都知道
但是有幾個跟容斥有關的不知道，我要記錄下
1.互斥事件可加性：對於n個互斥的事件\(P(A_1\cup ...\cup A_n)=\sum_{i=1}^{n}A_i\)
2.獨立事件可乘性：對於n個對立的事件\(P(A_1\cap ...\cap A_n)=\prod_{i=1}^{n}A_i\)
3.n重伯努利實驗：一次實驗中某個事件發生的機率是P，那麼重複n次獨立事件中這個事件恰好發生k次的機率是\(P_{n}(k)=C_{n}^{k}\times p^{k}\times (1-p)^{n-k}\)
4.全機率公式：
如果\(B_1...B_n\)滿足：
I.兩兩互斥
II.\(B_1\cup ...\cup B_n=\Omega\)
那麼我們稱\(B_1...B_n\)是樣本空間\(\Omega\)的一個劃分
公式就是：
設稱\(B_1...B_n\)是樣本空間\(\Omega\)的一個劃分，A為任意事件，那麼有：
\(P(A)=\sum_{i=1}^{\infty}P(B_i)\times P(A|B_i)\)
5.貝葉斯公式：
是建立在條件機率的基礎上尋找事件發生的原因，設\(B_1...B_n\)是樣本空間\(\Omega\)的一個劃分，那麼對任意事件A(\(P(A)>0\))，有：
\(P(B_i|A)=\frac{P(B_i)\times P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(B_i)\times P(A|B_i)}\)
期望
就是達到能做某一件事情的結果的期望
一般的計算公式是每次可能結果的機率乘以其結果的總和
\(E(X)=\sum_{i}x_i\times p_i\)
小性質
1.設X是隨機變數，C是常數，那麼\(E(CX)=C\times E(X)\)
2.設X，Y是隨機變數，有\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
3.設X,Y是相互獨立的隨機變數，有\(E(XY)=E(X)\times E(Y)\)
4.設C為常數，有\(E(C)=C\)
證明很簡單，就不證了。
5.全期望公式：
\(E(Y)=E(E(Y|X))=\sum_{i}P(X=x_i)E(Y|X=x_i)\)
1.推式子.
這個方法一般是用到了等比數列求和，極限等思想來解決問題。
2.遞推或動態規劃.
這是求解機率，期望問題的最常見的套路。其重要的是確定好思考的方向，不要將每個狀態獨立起來，而考慮對整體的影響。不然對於一些東西，求解並不方便。更要考慮最佳化動態規劃，來達到更優的複雜度。
3.迭代.
動態規劃要求問題無後效性， 而如果問題有不可避免的後效性， 動態規劃就無能為力了。 這時我們可以採用迭代的方法來進行計算。在題目中沒有出現極大或極小的機率且收斂較快時，可以使用這個方法，對於一些題目可以做到較優秀的複雜度。對於可能出現無限（也就是環）情況的，迭代至達到所求解的精度為止。此外， 迭代法也未必是要解決有後效性的問題， 只要問題有收斂性， 迭代都可以起到一定的作用。
4.高斯消元.
對於出現無限（環）的情況時，且精度要求較高，可以考慮列出期望-機率系統（機率—期望系統是一個帶權的有向圖，可以存在環），運用高斯消元來求解。但是對於環之間滿足一個偏序時，可以用等比數列求和來求解，得到更優秀的複雜度。
問題分析:
對於一般的有限狀態的問題，可以透過一般的遞推，動態規劃來求解。如果單純的動態規劃複雜度太高，且收斂較快，可以嘗試使用迭代+動態規劃來求解。
對於出現環的題目，嘗試對問題建圖，運用高斯消元來求解。
當然，如果機率比較難求解時，不妨用期望來間接求解。
\(P(x)=\frac{E(x)}{E(all)}\)
對於期望DP一般是逆推，記憶化搜尋的寫法可以很清楚的明白為什麼。而機率DP一般是正著推。