1. 抽卡模型（幾何分佈模型）
你有 \(p\) 的機率抽到卡，\(p - 1\) 的機率抽不到卡，詢問最終能抽到卡的期望次數。
直覺上期望是 \(\frac{1}{p}\) ? 這是恰好對的，但這只是巧合。
設抽到卡的期望次數為 \(E(X)\) 。
方法一：
根據期望的定義：“隨機變數的所有可能取值 \(x_i\) 乘以 這個取值發生的機率 \(p(x_i)\)” 之和。（這個和顯然也滿足期望線性性）
這裡抽卡次數可以作為隨機變數。
- 有 \(p\) 的機率可以 \(1\) 次抽到卡。
- 有 \((1 - p)p\) 的機率可以 \(2\) 次抽到卡。
- 有 \((1 - p)^{2}p\) 的機率可以 \(3\) 次抽到卡。
- ...
這也叫做幾何分佈模型，即前 \(k - 1\) 次抽不中而第 \(k\) 次抽中的機率 \(p(k) = (1 - p)^{k - 1} p\) 。
於是可以計算期望
這不好算。當然，這是可算的。
另外，幾何分佈模型的結論說明了這個數值是 \(\frac{1}{p}\) 。
方法二：
將期望代入隨機變數，將幾何分佈模型轉為 0-1 分佈模型，從而直接解出期望方程。
- 有 \(p\) 的機率可以 \(1\) 次抽到卡
- 有 \(1 - p\) 的機率可以 \(E(X) + 1\) 次抽到卡
1.1 例題 2023 ICPC 網路賽第二場 I Impatient Patient
problem
You accidentally sprained your ankle, and now you are facing a long recovery phase. Initially, you are at stage \(0\), and your recovery progresses until you reach stage \(n\).
Each day, if you rest properly, you advance by exactly one stage. So it takes n days for you to recover, that is, if you do not do anything improper.
However, instead of resting, you have the option to challenge yourself, which also takes one day. If you are at stage i and succeed, you will instantly recover. However, if you fail, you will regress to stage \(a_i (0 \leq a_i \leq i)\) . The probability of success is \(p_i\) .
Now, you are wondering what the expected time required for your recovery would be, assuming you adopt the best strategy.
solution
要麼選擇修養，要選擇挑戰。
-
如果選擇修養，第 \(i\) 個點的恢復期望是 \(i + (n - i) = n\) 。
-
如果選擇挑戰，容易觀察到對 \(> 1\) 個點選擇挑戰是顯然不優的。
接下來只需計算在每個點在選擇挑戰條件下每個點的恢復期望。
設第 \(i\) 個點的恢復期望為 \(E(X_i)\) 。由期望的線性性，$E(X_i) = $ 走到這個點並選擇挑戰的期望 \(X\) ，加上這個點挑戰結果的恢復期望 \(Y\) 。
顯然 \(X = i + 1\) 。
對於 \(Y\) ，將期望帶入隨機變數，透過 0-1 分佈模型解期望方程：
則
於是