Luogu5644 [PKUWC2018] 獵人殺
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題意：有 \(n\) 個人，每次在剩下的人中選擇一個人殺死，選擇 \(i\) 的機率為 \(\dfrac{w_i}{\sum_j w_j}\)，求第 \(1\) 個人是最後一個殺死的機率，答案對 \(998244353\) 取模。
\(w_i\ge 1,\space \sum\limits_{i=1}^n w_i\le 10^5\)
考慮容斥，列舉欽定在 \(1\) 之後死的人的集合 \(S\)，那麼該機率為 \(\dfrac {w_1}{w_1+\sum\limits_{j\in S}w_j}\)，容斥係數為 \((-1)^{|S|}\)。
使用揹包來綜合所有的 \(S\)，設 \(f[i,j]\) 表示考慮了前 \(i\) 個人，\(\sum\limits_{x\in S}w_x=j\)，帶容斥係數的機率總和。
可以分治來卷積，時間複雜度 \(O(n\log^2 n)\)。記錄
CF1349D Slime and Biscuits
題意：有 \(n\) 個人，第 \(i\) 個人有 \(a_i\) 個餅乾。每次隨機選擇一個餅乾，將其隨機分配給除了它現在所有者的其他 \(n−1\) 個人。求使得一個人擁有所有餅乾的期望步數，對 \(998244353\) 取模。
\(1\le n\le 10^5,\space \sum\limits_{i=1}^n a_i\le 3\times 10^5\)
設 \(E_u\) 表示餅乾全在第 \(u\) 個人手裡並且由 \(u\) 結束的帶機率係數期望步數。
我們要求的答案是 \(\sum\limits_{i=1}^n E_i\)。考慮計算 \(E_u\)：設 \(D_u\) 表示不考慮之前是否已經結束，餅乾全在第 \(u\) 個人手裡的期望步數，\(P_u\) 表示在 \(u\) 結束的機率。
其中 \(C\) 表示餅乾全部從 \(v\) 轉移到 \(u\) 的期望步數，不難發現是個常數。
推式子
只需要求 \(D_{1...n},C\)。
設 \(f[i]\) 表示一個人已經有了 \(i\) 個餅乾，獲得 \(i+1\) 個餅乾的期望步數，這個隨便推就行。
那麼 \(D_i=f[a_i],\space C=f[0]\)，時間複雜度 \(O(\sum a)\)。記錄
Luogu5463 隨機遊走
一棵 \(n\) 個點的樹，一開始從 \(x\) 點出發隨機遊走。有 \(Q\) 次詢問，每次給出一個點集 \(S\)，求第一次經過 \(S\) 中所有點的期望時間。
\(1\le n\le 18,\space 1\le Q\le 5000\)
考慮 Min-Max 容斥，改為求第一次經過 \(S\) 中任意一個點的期望時間。
考慮預處理時列舉所有 \(S\)，然後求解。設 \(f[u]\) 表示從 \(u\) 點開始走到 \(S\) 中任意一個點的期望時間，套路可知 \(f[u]\) 可以表示成關於 \(f[fa_u]\) 的一次函式。
令根為 \(x\)，那麼 \(f[x]\) 的常數項就是答案。
對於詢問部分，我們可以預處理 sos dp 子集求和，時間複雜度 \(O(n(2^n+Q))\)。記錄
uoj449 【集訓隊作業2018】喂鴿子
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題意：有 \(n\) 只鴿子，每秒會等機率選擇一隻鴿子並給他一粒玉米。一隻鴿子飽了當且僅當它吃了的玉米粒數量
\(\ge k\)。求期望多少秒之後所有的鴿子都飽了。
\(1\le n\le 50,\space 1\le k\le 1000\)
Min-Max 容斥，轉為求 \(t\) 個鴿子中把任意一個鴿子餵飽的期望秒數。
考慮 Gachapon 一題的方法，把餵食序列中這 \(t\) 個鴿子拎出來，是一個子序列。對於子序列的每個字首，期望存在時間都是 \(\dfrac nt\)，所以只需要求所有可能的字首出現機率之和。
一個長度為 \(d\) 的字首，合法的方案數為 \(1...t\) 的多重集排列數，其中每個數出現次數 \(\le k-1\)。總方案數為 \(k^d\)，所以只需要求合法的長度為 \(d\) 的多重集排列數。
設 \(f[i,j]\) 表示前 \(i\) 個陣列成大小為 \(j\) 的排列數方案數。
但是直接轉移會超時，然後容斥也會超時。
考慮第 \(j\) 個數可以是 \(1...i\) 中任意一個，假設是 \(x\)。那麼如果 \(j-1\) 個數中 \(x\) 出現次數 \(<k-1\) 時這樣就合法；如果次數 \(=k-1\) 就不合法，考慮減去這個方案數，為 \({j-1 \choose k-1} f[i-1,j-k]\)。
當然也可以生成函式推導，時間複雜度 \(O(n^2k)\)。記錄
uoj422【集訓隊作業2018】小Z的禮物
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題意：一個 \(n\times m\) 的網格，有一些關鍵格。每次隨機選擇一個合法位置放置一個 \(1\times 2\) 的骨牌，可以重疊，求把所有關鍵格都覆蓋的期望次數。
\(1\le n\le 6,\space 2\le m\le 100\)
Min-Max 容斥，轉為求對於所有關鍵格集合，覆蓋任意一個的期望次數。
用 dp 來綜合所有集合。設 \(f[i,j,k,S]\) 表示考慮到了格子 \((i,j)\)，有 \(k\) 個骨牌放置位置可以覆蓋到選擇的關鍵格，上方輪廓線為 \(S\) 的帶符號方案數總和。
時間複雜度 \(O(n^2m^22^n)\)。記錄