換根DP好題
我先來講一個錯誤的思路
設\(f[i]\)表示只考慮\(i\)及其子樹的時候，\(i\)通電的機率
有
\[f[i]=q_i+(1-q_i)(1- \prod_{v} (f[v](1-p_{(v,i)})+1-f[v]))
\]
化簡為
\[f[i]=q_i+(1-q_i)(1- \prod_{v} (1-f[v]p_{(v,i)}))
\]
其中\(v\)是\(i\)的兒子，\(p_{(v,i)}\)表示這條邊的機率
解釋一下：分兩種情況，
若\(i\)自己亮了，那麼樣本空間剩下的邊和點隨便是什麼狀態都可以
若\(i\)自己沒亮，那麼必須要至少有一個兒子亮了且這條邊一定能夠通電。我們考慮這種情況的反面，對任意一個兒子\(v\)，它不亮的機率是\(1-f[v]\)，亮了但是邊不通電的機率是\(f[v](1-p_{(v,i)})\)，兩者加起來即可。再將上述結果累乘就是反面的機率
我們再設\(g[i]\)表示\(i\)的父親\(fa\)在不考慮\(i\)及其子樹的情況下通電的情況，\(dfa\)表示\(fa\)的父親
有
\[g[i]=q_{fa}+(1-q_{fa})(1-(1-g[fa]p_{(fa,dfa)})\prod_{v≠i}(1-f[v]p_{(fa,v)}))
\]
，其中\(v\)是\(fa\)的兒子
情況討論是類似的，想一下這個公式怎麼來的
然後設\(ans[i]\)表示\(i\)通電的機率，有
\[ans[i]=f[i]+(1-f[i])p_{(i,fa)}g[i]
\]
，其中\(fa\)是\(i\)的父親
解釋一下：最終\(i\)通電要麼是由於子樹的原因，要麼子樹沒有能夠供電，然後父親來供電
這個解法是錯的，錯在哪裡？錯就錯在