ACM-ICPC 2018 南京賽區網路預賽__J. Sum【尤拉篩法+質因子分解+思維】

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A square-free integer is an integer which is indivisible by any square number except 1. For example, 6=2⋅3 is square-free, but 12=2^2⋅3 is not, because 2^2 is a square number. Some integers could be decomposed into product of two square-free integers, there may be more than one decomposition ways. For example, 6=1⋅6=6⋅1=2⋅3=3⋅2,n=ab and n=ba are considered different if a̸=b.f(n) is the number of decomposition ways that n=ab such that a and b are square-free integers. The problem is calculating f(1)+f(2)+...+f(n).

Input

The first line contains an integer T(T≤20), denoting the number of test cases.

For each test case, there first line has a integer n(n≤2⋅10^7).

Output

For each test case, print the answer f(1)+f(2)+...+f(n) .

Hint

∑​f(i)=f(1)+⋯+f(8)
=1+2+2+1+2+4+2+0=14=1+2+2+1+2+4+2+0=14.

樣例輸入

2
5
8

樣例輸出

8
14

題目來源

ACM-ICPC 2018 南京賽區網路預賽

題目大意：f(n)定義為n=a*b這樣分解的式子數，其中a和b不能包含平方因子。當a!=b時n=a*b和n=b*a視為兩個式子。t 組測試，n表示所求結果為 f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)

題解：有如下結論

1.若i是素數則f(i)=2

2.若i的某個質因子個數超過2，則f(i)=0。這個結論很好想，如果有大於2個相同質因子，那麼對於i的每個分解 i=a*b，a和b中必定有一個數含平方因子

3.若i=a*b且a和b不含相同因子即可，那麼f(i)=f(a)*f(b)

4.若i的質因子x的個數為2，f(i)=f(i/(x*x))即為去掉平方因子的個數

打表用到了尤拉篩法

AC的C++程式碼：

#include<iostream>

using namespace std;
const int N=2e7+5;

int prime[N];//儲存連續素數，prime[0]表示連續素數的個數
bool vis[N];
int f[N];//結果

void solve()
{
	f[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(!vis[i]){
		  prime[++prime[0]]=i;//儲存這個素數 
		  f[i]=2;//素數的結果為2 
		}
		for(int j=1;j<=prime[0]&&prime[j]*i<N;j++){
			int x=prime[j]*i;
			vis[x]=true;//標記x為合數 
			if(i%prime[j])//若i=a*b且a和b不含相同因子即可，那麼f(i)=f(a)*f(b)
			  f[x]=f[prime[j]]*f[i];
			else{//如果prime[j]是i的最小質因子 
				if(i%(prime[j]*prime[j])==0)//如果x的某個質因子個數超過2則f[i]=0 
				  f[x]=0;
				else//如果x的某個質因子個數為2，則答案為去掉平方項的結果 
				  f[x]=f[x/(prime[j]*prime[j])];
				break;//尤拉篩法保證每個合數只被它的最小質因子篩去，因此要跳出 
			}
		}
	}
	//字首和 
	for(int i=1;i<N;i++)
	  f[i]+=f[i-1];
}

int main()
{
	int t,n;
	solve();
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d",&n);
		printf("%d\n",f[n]);
	}
	return 0;
}
  

解法二

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=20000007;

int prime[N+1];
ll f[N+1];

void solve(int n)
{
	f[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!prime[i])
		{
			prime[++prime[0]]=i;
			f[i]=2;
		}
		for(int j=1;j<=prime[0]&&prime[j]<=n/i;j++)
		{
			prime[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j])
			{
				f[i*prime[j]]=f[i]*2;
			}
			else//i%prime[j]==0
			{
				if((i/prime[j])%prime[j]==0)
				  f[i*prime[j]]=0;
				else
				  f[i*prime[j]]=f[i/prime[j]];
				break;
			}
		}
	}
	for(int i=2;i<=n;i++)
	  f[i]+=f[i-1];
}

int main()
{
	int t,n;
	solve(N);
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&n);
		printf("%lld\n",f[n]);
	}
	return 0;
}