[T240718] 證明覆變函式 \(\arg z ~(-\pi<\arg z\le \pi)\) 在負實軸上 (包括原點) 不連續, 除此之外在 \(z\) 平面上處處連續.
證：當 \(z=0\) 時, \(\arg z\) 無意義, 自然不連續. 在負實軸上任取一點 \(z_0\), 當 \(z\) 從上半平面趨於 \(z_0\) 時有 \(\arg z>\frac{\pi}{2}\), 當 \(z\) 從下半平面趨於 \(z_0\) 時有 \(\arg z<-\frac{\pi}2\), 顯然 \(\arg z\) 在點 \(z_0\) 不連續, 從而在負實軸上不連續.
任取 \(z_0\neq0\) 且 \(z_0\) 不在負實軸上. 對 \(\forall \varepsilon>0(<1)\), 在複平面上以 \(z_0\) 為圓心作圓, 使圓內不包含負實軸上的點, 且此圓是含在張角為 \(2\varepsilon\) 的角形內的最大之圓, 記其半徑為 \(\delta>0~(=|z_0|\sin\varepsilon\le|z_0|)\). 則當 \(|z-z_0|<\delta\) 時, 有
\[|\arg z-\arg z_0|<\varepsilon
\]
即 \(\arg z\) 在點 \(z_0\) 處連續, 再由 \(z_0\) 的任意性可知, 複變函式 \(\arg z ~(-\pi<\arg z\le \pi)\) 在除去負實軸上 (包括原點) 的 \(z\) 平面上處處連續. #