2 解析函式

2.1 複變函式

複變函式的定義：

設 $D$ 是複平面中的一個點集，對於 $D$ 中的每一個 $z$ ，按照一定的規律，有一個或多個 $w$ 的值與之對應，則稱 $w$ 為定義在 $D$ 上的複變函式，記作：$w=f(z)$ 。

代數形式：
$$w=f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$$
指數形式：
$$w=u(r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta ,r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta )+iv(r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta ,r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta )=P(r,\theta )+iQ(r,\theta )$$
極限的定義：

設函式 $w=f(z)$ 定義在 $z_0$ 的去心鄰域 D = { z ; 0 < ∣ z − z 0 ∣ < ρ } D=\{z;0 < |z − z_0| < \rho\} D={z;0<∣z−z0​∣<ρ} 內。如過存在一確定的數 $A$ ，對於任意的 $ϵ>0$ ，存在正數 $\delta (ϵ)\in (0,\rho ]$ ，使得當 $0<|z-z_0|<\delta$ 時，
$$|f(z)-A|<ϵ$$
則稱 $A$ 為 $f(z)$ 當 $z$ 趨向於 $z_0$ 時的極限，記作
$$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=A$$

• 極限的幾何意義：當 $z\to z_0$ 時極限的存在性，要求 $z$ 在 $z_0$ 的 $\delta$ 去心鄰域中沿任何路徑趨近於 $z_0$ ，$f(z)$ 均以 $A$ 為極限。

連續的定義：

設函式 $w=f(z)$ 在區域 $D$ 中由定義，$z_0\in D$ ，若 $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=f(z_0)$ ，則 $f(z)$ 在 $z_0$ 處連續。若 $f(z)$ 在區域 $D$ 內處處連續，則 $f(z)$ 在 $D$ 內連續。

• 函式 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在 $z_0=x_0+i{y}_0$ 處連續的充要條件是 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 處連續。

定理：當 $f(z)$ 在有界閉區域 $\overline{D}$ 上連續時，它的模 $|f(z)|$ 在 $\overline{D}$ 上也連續、有界且可以取到最大值與最小值。即存在常數 $M>0$ ，使 $|f(z)|\le M(z\in \overline{D})$ 。

• 注意：如果把條件 $f(z)$ 在閉區域 $\overline{D}$ 上的連續改為在 $D$ 內的連續時，則 $|f(z)|$ 不一定有界。

• 反例：$f(z)=\frac{1}{z-1}$ 在單位圓內連續但無界。

• 有界閉區域 $D$ 上的連續函式必一致連續。

2.2 解析函式

導數的定義：

設區域 $D$ 是函式 $w=f(z)$ 的定義域， $z_0\in D$ ， $z_0+\Delta z\in D$ 。若如下極限存在，
$$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{\Delta w}{\Delta z}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$
則稱 $f(z)$ 在 $z_0$ 點可導（可微），這個極限稱為 $f(z)$ 在 $z_0$ 點的導數 $f^{\prime }(z_0)$，它是一個複數。

• 可導 $⟹$ 連續，反之不然。
• 如果 $f(z)$ 在區域 $D$ 內處處可導，則稱 $f(z)$ 在 $D$ 內可導。

解析函式的定義：

如果函式 $f(z)$ 在點 $z_0$ 的某個鄰域內的每一點可導，則稱 $f(z)$ 在 $z_0$ 點解析（正則）。

• $z_0$ 稱為解析點；不解析的點稱為奇點。

• 函式 $f(z)$ 在一點解析 $⟹$ 函式 $f(z)$ 在該點可導，反之不一定成立。

如果函式 $f(z)$ 在區域 $D$ 內每一點解析，則稱 $f(z)$ 在 $D$ 內解析。

• 由於 $D$ 是開集，所以 $f(z)$ 在 $D$ 內解析 KaTeX parse error: Got function '\mskip' with no arguments as argument to '\boldsymbol' at position 24: …ath{\kern#1#3}{\̲m̲s̲k̲i̲p̲#1#2}\relax $f(z)$ 在 $D$ 內處處可導。

• 在整個複平面 $\mathbb{C}$ 上解析的函式稱為整函式。

解析函式的性質：

(1) 兩個解析函式的和、差、積、商仍為解析函式。

(2) 兩個解析函式的複合函式仍為解析函式。

• 解析函式的求導鏈式法則：設 $\xi =g(z)$ 在區域 $D$ 內解析， $w=f(\xi )$ 在區域 $G$ 內解析，且 $g(D)\subseteq G$ ，則 $w=f[g(z)]$ 確定了一個 $D$ 上的解析函式，且

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}f[g(z)]=f^{\prime }[g(z)]\cdot g^{\prime }(z)$$

(3) 一個解析函式不可能僅在一個點或一條曲線上解析；所有解析點的集合必為開集。

2.3 解析函式的充分必要條件

定理 1：函式 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在其定義域 $D$ 內解析的充分必要條件是 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在區域 $D$ 內可微，且滿足 Cauchy-Riemann 方程，或稱之為 C-R 條件：
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\end{array}$$
此時，
$$f^{\prime }(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}$$
定理 2：函式 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在其定義域 $D$ 內一點 $(x,y)$ 處解析的充分必要條件是：

• 偏導數 $u_x,u_y,v_x,v_y$ 在點 $(x,y)$ 處存在；
• $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在點 $(x,y)$ 處滿足 C-R 條件。

推論：解析函式退化為常數的幾個充分條件：

• 函式在區域內解析且導數恆為零；
• 解析函式的實部、虛部、模或輻角中有一恆為常數；
• 解析函式的共軛在區域內解析。

2.4 解析函式與調和函式的關係

如果函式 $f(z)=u+iv$ 在區域 $D$ 內解析，則它的實部 $u$ 和虛部 $v$ 在 $D$ 內任意一點 $(x,y)$ 處一定是任意階可微的，且 $u$ 和 $v$ 滿足 C-R 條件。若將 C-R 方程的第一式兩邊對 $x$ 求偏導數，第二式兩邊對 $y$ 求偏導數，則有
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y\partial x},\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial y}=-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}$$
由於
$$\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial y}$$
所以
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$$
同理可得
$$\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}=0$$
在實分析中，若二元函式 $U(x,y)$ 在平面區域 $D$ 中具有二階連續偏導數且滿足方程
$$\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}=0$$
則稱 $U(x,y)$ 為區域 $D$ 內的調和函式。該方程被稱為調和方程或拉普拉斯方程，簡記為
$$\Delta U=U_{xx}+U_{yy}=0$$
若 $u$ 與 $v$ 是區域 $D$ 內的調和函式且滿足 C-R 條件，則稱 $\mathbf{v}$ 為 $\mathbf{u}$ 的共軛調和函式。

注意：不是“互為”共軛調和函式。

定理 1：$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 是區域 $D$ 內的解析函式 $⟹$ $u$ 和 $v$ 是區域 $D$ 內的調和函式，反之不一定成立。

• 反例：$f(z)=z^2=x^2-y^2+2xyi$ 是解析函式，但 $f(z)=2xy+i(x^2+y^2)$ 並不解析。

定理 2：$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 是區域 $D$ 內的解析函式 $⟺$ $v$ 為 $u$ 的共軛調和函式。

根據以上定理，如果已知共軛調和函式中的一個，可利用 C-R 方程求得另一個，從而構成一個解析函式。

2.5 初等解析函式

(1) 指數函式

定義：
$$e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$$

$$|e^z|=e^x,\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}{e}^z=y+2k\pi$$

性質：

• $e^z$ 定義在全平面上，且 $e^z\ne 0$
• $e^z$ 在全平面上解析，且 $(e^z{)}^{\prime }=e^z$
• $e^z\cdot e^w=e^{z+w}$ 對任意的 $z,w\in \mathbb{C}$ 成立
• $e^z$ 是周期函式，週期 $T=2n\pi i$ （ $n$ 為整數， $n\ne 0$ ），基本週期為 $2\pi i$ 。

(2) 三角函式

定義：
$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$

$$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$

性質：

• 尤拉公式：

$$e^{iz}=\cos z+i\sin z$$

• 全平面解析，且有

$$(\sin z{)}^{\prime }=\cos z,(\cos z{)}^{\prime }=-\sin z$$

• 除半形公式外，其餘各種三角恆等式仍然成立。

• $\sin z$ 為奇函式， $\cos z$ 為偶函式。

• $\sin z,\cos z$ 是以 $2\pi$ 為週期的周期函式。

• $|\sin z|,|\cos z|$ 不是有界函式，模可以大於 $1$ 以至任意大。

(3) 雙曲函式

定義：
$$\mathrm{s}\mathrm{h}z=\frac{e^z-e^{-z}}{2}$$

$$\mathrm{c}\mathrm{h}z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}$$

雙曲函式恆等式：
$${\mathrm{c}\mathrm{h}}^{2}z-{\mathrm{s}\mathrm{h}}^{2}z=1$$

$$\mathrm{s}\mathrm{h}z+\mathrm{c}\mathrm{h}z=e^z$$

$$\mathrm{s}\mathrm{h}(z_1+z_2)=\mathrm{s}\mathrm{h}{z}_1\mathrm{c}\mathrm{h}{z}_2+\mathrm{c}\mathrm{h}{z}_1\mathrm{s}\mathrm{h}{z}_2$$

$$\mathrm{c}\mathrm{h}(z_1+z_2)=\mathrm{c}\mathrm{h}{z}_1\mathrm{c}\mathrm{h}{z}_2+\mathrm{s}\mathrm{h}{z}_1\mathrm{s}\mathrm{h}{z}_2$$

三角函式與雙曲函式之間：
$$\cos (iz)=\mathrm{c}\mathrm{h}z,\sin (iz)=i\mathrm{s}\mathrm{h}z$$

$$\mathrm{c}\mathrm{h}(iz)=\cos z,\mathrm{s}\mathrm{h}(iz)=i\sin z$$

性質：

• 全平面解析，且有

$$(\mathrm{s}\mathrm{h}z{)}^{\prime }=\mathrm{c}\mathrm{h}z,(\mathrm{c}\mathrm{h}z{)}^{\prime }=\mathrm{s}\mathrm{h}z$$

• $\mathrm{s}\mathrm{h}z$ 為奇函式， $\mathrm{c}\mathrm{h}z$ 為偶函式。

• $\mathrm{s}\mathrm{h}z,\mathrm{c}\mathrm{h}z$ 是以 $2\pi i$ 為週期的周期函式。

(4) 對數函式

對於復指數函式，其定義域為 $\mathbb{C}$ ，值域為 C \ { 0 } \mathbb{C}\backslash\{0\} C\{0} 。由於復指數函式是周期函式，不存在單值反函式，所以無法定義單值對數函式，因此我們需要將對數函式限制在 $\mathbb{C}$ 的某些子集上。

定義：

滿足方程 $e^w=z(z\ne 0)$ 的函式 $w=f(z)$ 稱為 $z$ 的對數函式，記
$$w=\mathrm{L}\mathrm{n}z(z\ne 0)$$
設 $w=u+iv$ ， $z=r{e}^{i\theta }$ ，則有 $e^{u+iv}=e^u{e}^{iv}=r{e}^{i\theta }$

從而
$$\{\begin{array}{l}{e}^u=r⟹u=\ln r=\ln |z|\\ v=\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}z=\theta +2k\pi \end{array}$$
所以
$$w=\mathrm{L}\mathrm{n}z=\ln |z|+i\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}z=\ln |z|+i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z+2k\pi )$$
由於 $\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}z$ 是多值函式，所以 $\mathrm{L}\mathrm{n}z$ 是多值函式，需要進行單值化處理。
$$\ln z=\ln |z|+i\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z$$

$$\mathrm{L}\mathrm{n}z=\ln z+i2k\pi$$

$\ln z$ 是複平面上 C \ { 0 } \mathbb{C}\backslash\{0\} C\{0} 到帶域 { u + i v ∣ u ∈ R ,   − π < v < π } \left\{u+iv|u\in\mathbb{R},\ -\pi<v<\pi \right\} {u+iv∣u∈R, −π<v<π} 的對映，將 $\ln z$ 稱為對數函式的主值支 。

性質：

• $\mathrm{L}\mathrm{n}z$ 的定義域為 { z : 0 < ∣ z ∣ < + ∞ } \{z:0<|z|<+\infty\} {z:0<∣z∣<+∞} 。
• $\mathrm{L}\mathrm{n}z$ 為無窮多值函式，每兩個值相差 $2\pi i$ 的整數倍。
• 除去原點與負實軸， $\ln z$ 在複平面內處處解析： $(\ln z{)}^{\prime }=(\mathrm{L}\mathrm{n}z{)}^{\prime }=\frac{1}{z}$ 。

在實分析中，負數不存在對數。在複分析中，負數的對數是有意義的，它是多值的。
$$\mathrm{L}\mathrm{n}(-1)=\ln |-1|+i\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(-1)+i2k\pi =(2k+1)\pi i$$

(5) 冪函式

定義：

設 $z$ 為不等於零的復變數，定義 $w=z^{\mu }=e^{\mu \mathrm{L}\mathrm{n}z}$ 是主值為 $e^{\mu \ln z}$ 的多值函式。
$$w=z^{\mu }=e^{\mu \mathrm{L}\mathrm{n}z}=e^{\mu [\ln z+i2k\pi ]}=e^{\mu \ln z}\cdot e^{2k\mu \pi i}$$
性質：

當 $\mu$ 為整數 $n$ 時， $w=z^{\mu }$ 為單值函式：
$$w=z^n=e^{n\ln |z|}\cdot e^{in\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z}\cdot e^{2kn\pi i}=|z{|}^n{e}^{in\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z}$$
當 $\mu$ 為分數 $\frac{1}{n}$ 時， $w=z^{\mu }$ 為 $n$ 值函式：
$$w=z^{\frac{1}{n}}=|z{|}^{\frac{1}{n}}exp(i\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z+2k\pi }{n})$$
當 $\mu$ 為有理數 $\frac{p}{q}$ 時， $w=z^{\mu }$ 為 $q$ 值函式。

當 $\mu$ 為無理數與虛部不為零的複數時， $w=z^{\mu }$ 為無窮多值函式。