第一章 函式與極限

洪西發表於2020-12-07
函式

一 元 函 數 的 定 義 ： f : x ↦ y 或 f : D → B 例 1 ： 復 合 函 數 的 定 義 ： y = f ( φ ( x ) ) D ( f ) ∩ R ( φ ) ≠ ∅ 數 列 極 限 的 定 義 ： ϵ − N 定 義 ∀ ϵ > 0 , ∃ N > 0 , 當 n > N 時 ， 都 有 ∣ a n − a ∣ < ϵ , 則 lim ⁡ n → ∞ a n = a 通 過 定 義 證 明 數 列 極 限 存 在 的 方 法 : 方 法 1 ： ∣ a n − a ∣ < ϵ ⇔ n > N ( ϵ ) ( 直 接 法 ) 方 法 2 ： ∣ a n − a ∣ < ϵ ⇐ n > N ( ϵ ) ( 適 當 放 大 法 ) 例 1 ： 證 明 lim ⁡ n → ∞ 1 n k = 0 , k > 0 為 常 數 ( 直 接 法 ) 例 2 ： 證 明 lim ⁡ n → ∞ q n = 0 , ∣ q ∣ < 1 為 常 數 ( 直 接 法 ) 例 3 ： 證 明 收 斂 數 列 的 性 質 : 性 質 1 : ( 唯 一 性 ) 數 列 極 限 的 定 理 : 定 理 1 ： 改 變 數 列 的 有 限 項 ， 不 改 變 數 列 的 收 斂 性 與 極 限 \begin{array}{lcl} 一元函式的定義：\\ f:x \mapsto y \quad 或 \quad f:D \to B\\ 例1：\\\\ 複合函式的定義：\\ y=f(\varphi(x)) \quad D(f)\cap R(\varphi)\ne \emptyset \\\\ 數列極限的定義：\epsilon-N定義\\ \forall \epsilon>0,\exists N>0,當n>N時，都有|a_{n}-a|<\epsilon,則\lim\limits_{n \to \infty}a_{n}=a \\ 通過定義證明數列極限存在的方法:\\ 方法1：|a_{n}-a|<\epsilon \Leftrightarrow n>N(\epsilon)(直接法)\\ 方法2：|a_{n}-a|<\epsilon \Leftarrow n>N(\epsilon)(適當放大法)\\ 例1：證明\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{1}{n^{k}}}=0,k>0為常數(直接法)\\ 例2：證明\lim\limits_{n \to \infty}{q^{n}}=0,|q|<1 為常數(直接法)\\ 例3：證明\\ 收斂數列的性質:\\ 性質1:(唯一性)\\數列極限的定理:\\定理1：改變數列的有限項，不改變數列的收斂性與極限\\ \end{array} 一元函數的定義：f:x↦y或f:D→B例1：復合函數的定義：y=f(φ(x))D(f)∩R(φ)​=∅數列極限的定義：ϵ−N定義∀ϵ>0,∃N>0,當n>N時，都有∣an​−a∣<ϵ,則n→∞lim​an​=a通過定義證明數列極限存在的方法:方法1：∣an​−a∣<ϵ⇔n>N(ϵ)(直接法)方法2：∣an​−a∣<ϵ⇐n>N(ϵ)(適當放大法)例1：證明n→∞lim​nk1​=0,k>0為常數(直接法)例2：證明n→∞lim​qn=0,∣q∣<1為常數(直接法)例3：證明收斂數列的性質:性質1:(唯一性)數列極限的定理:定理1：改變數列的有限項，不改變數列的收斂性與極限​

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