怎樣解題|題2.4.16：立方體染色

《怎樣解題：數學競賽攻關寶典（第3版）》第 56 頁：

題2.4.16   是否可以使用紅色、白色和藍色為 27 個相同的 1x1x1 立方體的面染色， 以便將它們排列成所有外部面都為紅色的 3x3x3 立方體； 然後重新排列成所有外部面都為藍色的 3x3x3 立方體； 最後，重新排列成所有外部面都為白色的 3x3x3 立方體？ 一般情況下呢（n 種顏色和 nxnxn 立方體）？

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一般情況是指：

是否可以使用 n 種顏色為 n³ 個相同的 1x1x1 立方體的面染色， 以便將它們排列成所有外部面都為第 i 種顏色（1≤i≤n）的 nxnxn 立方體。

顯然，這 n³ 個相同的 1x1x1 立方體共有 6n³ 個面， 而 nxnxn 立方體的 6 個外部面共有 6n² 個小格。

當 n=1 時，顯然可以做到。

當 n=2 時，共有 8 個 1x1x1 立方體， 只需將這些小立方體的 3 個面染成紅色，3 個面染成白色即可。 注意，3 個相同顏色的面必須有一個公共點。

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當 n=3 時，共有 27 個 1x1x1 立方體， 分為以下 4 種情況：

• 1 個體中心塊（沒有外部面）
• 6 個面中心塊（有 1 個外部面）
• 12 個邊塊（有 2 個外部面）
• 8 個角塊（有 3 個外部面）

只需將這些小立方按照以下方式染色即可。

• 小立方體的個數 1 1 1 6 6 6 6
• 染成紅色的面數 0 3 3 1 3 2 2
• 染成白色的面數 3 0 3 2 1 3 2
• 染成藍色的面數 3 3 0 3 2 1 2

注意，3 個相同顏色的面必須有一個公共點， 2 個相同顏色的面必須有一個公共線。

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當 n=4 時，共有 64 個 1x1x1 立方體， 分為以下 4 種情況：

• 8 個體中心塊（沒有外部面）
• 24 個面中心塊（有 1 個外部面）
• 24 個邊塊（有 2 個外部面）
• 8 個角塊（有 3 個外部面）

只需將這些小立方按照以下方式染色即可。

• 小立方體的個數 4 4 4 4 4 4 4 4 16 16
• 染成紅色的面數 0 0 3 3 1 2 1 2   1   2
• 染成白色的面數 1 2 0 0 3 3 2 1   2   1
• 染成藍色的面數 2 1 1 2 0 0 3 3   1   2
• 染成黃色的面數 3 3 2 1 2 1 0 0   2   1

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一般情況下，共有 n³ 個 1x1x1 立方體， 分為以下 4 種情況（n>1）：

• (n-2)³ 個體中心塊（沒有外部面）
• 6(n-2)² 個面中心塊（有 1 個外部面）
• 12(n-2) 個邊塊（有 2 個外部面）
• 8 個角塊（有 3 個外部面）

染色方案待定。