怎樣解題|題9.2.21：化簡八次根式

《怎樣解題：數學競賽攻關寶典（第3版）》第 300 頁：

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令

則 A = 2207 - 1/A，即 A² - 2207A + 1 = 0，解得：

捨去較小的根，由題目中的條件可知：

顯然，c = 5。令 u = a/d, v = b/d，使用二項式定理展開上式，整理後得：

令 u = kv，代入式 (1) 和 (2) 得：

式 (3) 除以式 (4)，整理後得：

這個函式的影像如下所示：

顯然，這個八次方程有且僅有兩個實根：k₁ = 5/3, k₂ = 3。

將 k = 5/3 代入式 (3) 得 ，捨去（因為 v 是有理數）。

將 k = 3 代入式 (3) 得 v = 1/2，因此 u = 3/2。最終答案是：

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根據小學徒的評論，有以下非常巧妙的解法：令

則 A = 2207 - 1/A，即 A + 1/A = 2207。令 x⁸ = A，得：

於是：

因此：

捨去較小的根，最終答案是：

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實際上，我們還有：