怎樣解題|題6.4.9：最小自私集

《怎樣解題：數學競賽攻關寶典（第3版）》第 209 頁：

題 6.4.9（普特南 1996）定義自私集為 它自己的基數（元素數）是該集合的一個元素的集合。 最小自私集是自私集，但它的任何真子集都不是自私集。 {1,2,...,n} 的所有子集中有多少個是最小自私集？ 證明你的結論。

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首先注意到，空集不是自私集，也不是最小自私集， 所以我們不必考慮子集為空集的情形。

這題的關鍵是：{1,2,...,n} 的非空子集 是最小自私集的充分必要條件 是其基數是該集合的最小元素。

因此，{1,2,...,n} 的基數為 i 的子集中有 個是最小自私集。

具體做法是， 選定最小元素 i，然後從 n-i 個大於 i 的數中選取其餘 i-1 個元素。
（如果 n-i < i-1，相應的選取數量為零，表明 i 超出合理範圍。）

因此，答案是：

易知 F(1) = F(2) = 1，所以 F(n) 就是斐波那契數 F_n 。

我們知道 。