怎樣解題|題7.5.12：因數的個數

《怎樣解題：數學競賽攻關寶典（第3版）》第 241 頁：

題7.5.12   (普特南 1983) 共有多少個正整數 n，使得 n 是 10⁴⁰ 或 20³⁰ 中至少一個數的因數。

---

回顧本書第 224 頁：

題7.3.3 注意 σ₀ 等於 n 的因數的個數。這個函式一般用 d(n) 來表示。你曾在第 185 頁題 6.1.21 和 3.1 節第 64 頁見到過它。回憶一下：如果

是 n 的素數冪分解，那麼

d(n)=(e₁+1)(e₂+1)…(e_t+1)

由這個公式，可以推斷出 d(n) 是積性函式。

由容斥原理（見本書 6.3 節），題 7.5.12 的答案是：

d(10⁴⁰) + d(20³⁰) - d(gcd(10⁴⁰, 20³⁰) )

= d(2⁴⁰5⁴⁰) + d(2⁶⁰5³⁰) - d(2⁴⁰5³⁰)

= 41 x 41 + 61 x 31 - 41 x 31

= 2301