為什麼要寫《怎樣解題：數學競賽攻關寶典》？

作者簡介：保羅·蔡茨，曾就讀於哈佛大學歷史系，繼而於加州大學伯克利分校獲得數學博士學位。現在是舊金山大學的一名數學教授。他曾獲得美國數學奧林匹克競賽大獎，並且是1974年美國代表隊第一次參與國際數學奧林匹克競賽的光榮一員。2003年榮獲著名的Deborah Tepper Haimo獎，這是由美國數學聯盟頒發的全國性的大學數學教育獎項。

為什麼要寫這本書

這是一本定位於供大學生學習如何解決問題的入門書。我們假定讀者具備一定的數學基礎（至少懂得一點微積分），喜歡數學，並對一般的證明方法有大致的瞭解，但他們平時花費了大量的時間去做練習而無暇去思考問題。

“練習題”一般是為了單純測試學生對某一數學技巧的掌握程度，一般是檢驗對新學知識的掌握程度而設計的一類題。練習題有的容易有的有些難度，但都不會讓人很為難，學生一般都清楚如何去解題。雖然要得到答案可能需要很多技巧，但學生解題的思路往往非常明確。相反，解決“問題”並沒有什麼特定的思路，也不可能馬上得到答案。許多問題都是開放性的，看上去自相矛盾，有些甚至就無解，而在得到結論之前需要大量的分析。問題和解決問題是數學的核心。研究型數學家一輩子就在試圖解決這些懸而未決的問題。在生產實踐中，有能力解決一個定義晦澀的問題的人要比會（比如說）求矩陣轉置的人更重要，解決後者可以由計算機代勞，但解決前者卻只有靠人才。

解決問題的高手並不僅僅只是更受老闆器重，有些人甚至因此進入主流的數學圈了。他們因此特別有自信心並激勵了其他人。最重要的是，解題令人愉悅，真正的高手懂得享受數學帶給他們的樂趣，理解並享受數學的美。

打個比方，普通的數學專業學生就像是那種一星期去健身房三次，每次都在各種運動器材上輕巧地重複同樣運動的人。相反，喜歡解決問題的人則像是經常揹著沉重的旅行包去徒步旅行的人。這兩種人都能變得強壯，而通過解決問題鍛鍊的人則嘗試到了冷、熱、潮溼、疲勞和飢餓的感覺，他們可能會迷失方向而不得不到處尋找出路，會飽經風霜。但他們能爬到山頂，看到一般人意想不到的風景；他們能夠到達奇妙而美麗的地方，更為歷盡千辛萬苦到達目的地而欣喜若狂；當他們回到家，會因為曾經的歷險而充滿活力，為曾經的經歷而熱情洋溢。而那些只去健身房鍛鍊的“溫室花朵”只是在慢慢變得強壯，卻不能從運動中享受到多少樂趣，也沒有任何可以和別人一起分享的經歷。

當前，美國大多數數學專業的學生並不善於解決問題，但還是存在著熱愛解決問題的風氣。很多人都是由數學俱樂部培養的，經常參加一些數學競賽，研究那些大部分數學家認為理所當然的重要的“歷史著名”問題和觀點。這種愛好解決數學問題的文化氛圍在部分東歐國家和一些美國城市都很濃厚。我在紐約長大並在 Stuyvesant 中學上高中，在那裡我曾經是學校數學競賽隊的隊長並專門學習過如何解決問題，到現在還和數學競賽都有著不解的緣分。在高中時，我是美國首次參加國際數學奧林匹克競賽（IMO）的代表成員，二十年後，我成為了一名大學教授，又以教練的身份輔導了最近很多屆參加國際數學奧林匹克競賽的隊伍，包括1994 年我們在國際數學奧林匹克競賽歷史上取得最優異成績的那支代表隊。

但在很多人成長的環境中並沒有這種喜歡解決問題的文化氛圍，我在擔任高中以及大學老師期間和這些想解決問題的孩子們經常接觸，我相信解決問題是任何能夠讀數學專業的學生都能輕易學會的一件事。作為解決問題的文化氛圍的倡導者，寫作這本書是我首次為傳播這一文化所做出的努力。我之所以決定寫這本書是因為我在舊金山大學工作期間，沒有找到任何類似的書。雖然現在已經有不少優秀的專門介紹數學問題的書，但我覺得光有數學問題是不夠的。我寫這本書的指導原則是：

解決問題的方法是可以教授給學生並被他們掌握的。 成功解決問題的關鍵在於心理因素，像信心、專心和勇氣都是非常重要的。 對問題不受任何限制的分析至少和嚴格的論證同樣重要。 影響解決問題的非心理因素主要包括高度的戰略規劃、集中的戰術方法和靈活運用的技術工具。 掌握大量的歷史著名問題（比如抽屜原理或康威棋子問題）和精通各種技術工具同樣重要。

如何讀這本書

雖然這本書編寫得像是一本標準的數學教材，但它的語言是非常口語化的：它就像是一位友善的教練，不僅講解問題，還通過各種告誡、舉例和挑戰來傳授知識。學習這本書不需要太多的預備知識，只要掌握一點淺顯的微積分就足夠了，因為我把這本書的讀者定位於大學數學系的學生。當然這本書也適合高中高年級學生以及各級別的自學者，特別是數學老師們。

本書的內容分成兩部分。第一部分是總結解決問題的方法論，這也是全書的核心內容。第二部分包含四個獨立成章的部分，即按解題者的角度分成代數、組合數學、數論和微積分四章。1為了控制全書的厚度，書中沒有討論幾何方面的問題，但幾何的思想卻貫穿始終，並在一些地方（如4.2 節）有集中討論。但從總體上講，本書涉及的幾何方面的內容還是相對較少的。幸運的是，現在已經出版了很多幾何方面的書籍。這些書中，我認為初等幾何方面的 Geometry and the Imagination[16] 寫得非常好。

1為節省紙張，第2版已沒再使用正式的第一、第二部分標籤了。但全書的結構還是相同的，只是加了幾何一章，如何讀這本書，請大家見 1.4 節。

本書每一小節的結構都很清晰：（大量的）講解、例題和問題。有些比較容易，有些稍微難些，還有一些非常難。本書的目的是教大家如何解決問題，要提高這一能力的唯一途徑就是解決大量問題，獨立解決一些問題並學習別人的解題方法，但並非所有的問題都是能解出的，任何時間只要是用在思考問題上都是值得的。

我希望讀者在讀完這本書並解決書中660 個問題中的一部分後，能有前面說過的揹包長途旅行的那種感覺。讀者在閱讀的過程中有時不可避免地會茫然不知所措，感到非常痛苦，但是當完成這樣一次旅行以後，你們的意志會變得堅強，並且欣喜若狂，而且隨時準備著下一次的冒險旅行。

當然，你們還能從中學到很多數學知識——不是分割成一塊塊的數學分支，而是數學本身，純粹而簡單。的確，貫穿整本書反覆出現的主題是數學的統一性。很多特定的解題方法都用到了將一個數學分支的問題轉化為另一個數學分支的問題的技巧，比如，可以從幾何角度解釋一個代數不等式。

如何教授這本書

如果是一學期的課程，應該教完第一部分的內容，雖然學生不一定能夠完全掌握。此外，還可以從第二部分選取一部分內容講解。例如，如果給大學一二年級學生開設這門課可以講解第 1-6 章；如果是高年級，則可以跳過第 5 章的大部分（除了最後一節）和第 6 章，而將主要時間用來學習第 7 章和第 8 章。

致謝 Deborah Hughes Hallet 是我近二十年事業的守護天使。沒有她的仁慈和鼓勵，就不可能有這本書，我也不可能成為一名數學教師。我將這一切歸功於你，Deb。謝謝你！

我真的很幸運能在舊金山大學工作，在這裡，我無時無刻不感到同事們的友善和支援，學生們很熱愛學習，學校的領導也從各方面為教職工們提供服務。特別地，我想真誠地感謝下列朋友。

Stanley Nel 院長，他非常慷慨地幫我解決實際困難，升級我的電腦，資助我出差。但更重要的是，他從一開始就對我寫的這本書表現出極大的興趣，他的熱情和賞識支援我度過了過去四年。 從1992 年到舊金山大學任教開始，Tristan Needham 就是我的導師、同事和朋友。沒有他的建議和為本書的寫作所付出的努力，我也不可能完成這本書。Tristan 學識淵博，從最細微的 \LaTeX 命令到豐富的數學史知識以及紮實的數學基礎。在很多方面，我仍舊只是個初學者，Tristan 教會我真正地深入理解數學的真相。 Nancy Campagna、Marvella Luey、Tonya Miller 和 Laleh Shahideh想盡辦法，非常慷慨地幫助我料理雜事。完全可以這樣說，沒有她們的幫助和友誼，我在舊金山大學的生活可能會糟透了。 每天都離不了的 Wing Ng，我們系最多才多藝的教學祕書，幫助我解決了很多問題，從修復印機到安裝軟體到設計版面，她的足智多謀和大公無私的精神大大提高了我工作的效率。 在這本書中，我的很多想法都來源於我在以下兩個地方給學生上課的經驗：舊金山大學開設的關於如何解決問題的一學期課程，和擔任國際數學奧林匹克競賽美國隊教練時講授的課程。非常感謝我的學生們，他們給我提供了這樣一個與大家一起分享數學的機會。

在擔任數學競賽教練期間，我從同事們那裡學到了很多解決問題的方法。特別地，我要感謝 Titu Andreescu、Jeremy Bem、Doug Jungreis、Kiran Kedlaya、Jim Propp、Alexander Soifer，與他們的多次交流對我幫助極大。

Bob Bekes、John Chuchel、Dennis DeTurk、Tim Sipka、Robert Stolarsky、Agnes Tuska 和 Graeme West閱讀了本書的手稿，提出了很多有益的修改意見，並指出了書中不少錯誤。由於他們的認真工作，本書在原稿基礎上又有了很大改進，如果書中還有其他錯誤，當然由我一人負責。

本書是用 Macintosh 電腦寫作完成的，在 Textures 上執行 \LaTeX，Textures 是一個非常出色的排版程式，大大優於其他 \TeX 軟體。2我向希望用 \TeX 或 \LaTeX 軟體寫書的人推薦該軟體（www.bluesky.com）。另一個對我幫助很大的軟體是 Eric Scheide 公司的索引程式，它可以自動執行大部分的 \LaTeX 索引過程。這些程式極大地節省了我的時間。欲知更多的資訊，請聯絡 scheide@usfca.edu。

2本書中文版是用Arch Linux 作業系統，在 TeX Live 上執行 \LaTeX 排版的。 ——譯者注

Wiley 出版公司的編輯 Ruth Baruth在極短的時間裡幫我把模糊的想法變成了一本書，整個過程少不了她積極的鼓勵、創新的提議和溫和的督促。我在此對她表示真誠的感謝。我期待著將來能有更多的書奉獻給讀者。

我的妻子和兒子在我寫書期間給予了我極大的支援。感謝他們對我的容忍，也希望他們能夠原諒我這段時間對他們的忽視。正因為沒有家庭上的分心，我才能夠將更多的時間投入到工作中，也不會因為對工作的熱愛而感到內疚。可是，如果沒有我的家庭，其他任何東西（甚至是數學的美）對我來說都是毫無意義的。

　

保羅·蔡茨　　　

1998 年11 月於舊金山

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