怎樣解題|題3.4.18：跳青蛙

《怎樣解題：數學競賽攻關寶典（第3版）》第 100 頁：

題 3.4.18 將三隻青蛙放在正方形的三個頂點上。 每一分鐘都有一隻青蛙會越過另一隻青蛙， 使得“被跨越者”正好位於“跳躍者”行走線段（線段的兩端正好是跳躍著的起跳點和著陸點）的中點。 能否有一隻青蛙到達這個正方形在初始狀態時沒有青蛙的那個頂點？

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不失一般性，假設這三隻青蛙分別位於 (0,1), (1,0), (1,1) 這三個座標點上。現在我們來證明沒有青蛙可以到達座標原點 (0, 0)。

容易看出，只允許有以下 8 種跳躍方式：

1. x = x + 2
2. x = x - 2
3. y = y + 2
4. y = y - 2
5. x = x + 2, y = y + 2
6. x = x - 2, y = y - 2
7. x = x + 2, y = y - 2
8. x = x - 2, y = y + 2

因此，無論進行何種跳躍，都不會改變青蛙的座標的奇偶性。而這三隻青蛙的座標的奇偶性分別為 (偶, 奇), (奇, 偶), (奇, 奇)，但是座標原點的奇偶性為 (偶, 偶)，所以沒有青蛙可以到達座標原點。證畢。