【題解】A23329.等差數列計數

Macw發表於2024-06-11

題目連結：等差數列計數

題目描述

首先根據題目要求，給定一個等差數列的首項 \(t_1\) 和這個等差數列的末項 \(t_n\)，問符合這個形式的等差數列的數量。

例如，對於第一個 \(\mathtt{Testcase}\)，當 \(t_1\) 為 \(1\)，\(t_n\) 為 \(9\) 時，可行的等差數列方案數有四個，分別為以下所示：

  1. \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\)
  2. \(S = \{1, 3, 5, 7, 9\}\)
  3. \(S = \{1, 5, 9\}\)
  4. \(S = \{1, 9\}\)

思路分析

我們知道，等差數列的公差數量就是這個等差數列的可行方案數，即有多少種不同的公差方案，就可以構造出多少種不同的等差數列。因此透過分析題意，我們可以將問題更細緻地轉換為 已知等差數列的首項和尾項，求出這個等差數列公差的可行方案數。所以對於本題而言，我們只需要求出有多少個公差就可以了。

顯然本題的就引刃而解了，我們只需要求出這個等差數列首項和末項的差的絕對值，即 \(diff = \lvert t_n - t_1 \rvert\)。然後我們只需要求出 \(diff\) 的因數個數即可。\(diff\) 的因數就是可行的因數方案（詳細證明過程見下文）。

例如，當 \(t_1\) 為 \(1\)，\(t_n\) 為 \(9\) 時，\(diff = \lvert 9 - 1 \rvert = 8\)。\(8\) 的因數有四個，分別是 \(\{1, 2, 4, 8\}\)，因此當這個等差數列首項為 \(1\)，末項為 \(9\) 時，可行的等差數列方案應為四個。

結論證明

透過等差數列公式，我們可以將等差數列的首項和末項透過公式聯立起來，得到 \(t_n = t_1 + (n-1)\times d\)，其中 \(n\) 表示等差數列的項數，\(d\) 表示等差數列的公差。

由於我們想要求解所有的因數個數，因此我們將透過移項的操作將 \(d\) 放到等式左邊，將其餘的量都放到等式右邊。得到：

\[\begin{equation} \begin{split} t_n - t_1 &= (n-1) \times d \\ d &= \frac{t_n - t_1}{n-1} \end{split} \end{equation} \]

由於等差數列的性質，\(n - 1\) 必須為非負整數（等差數列的長度不能 \(0\)）。或者根據等差數列的另一個性質，如果首項和末項的差為負數，那麼公差也必須為負數，反之亦然。因此也可以推匯出 \(n - 1\) 必須是非負整數。

為了方便起見，我們將 \(n-1\) 看作為一個整體，另 \(\Delta t = n - 1\)。將該整體代入方程後即可得到 \(d = \frac{t_n - t_1}{\Delta t}\)。為了使 \(d\) 是一個整數，因此 \(t_n - t_1\) 必須是 \(\Delta t\) 的倍數。因此我們只需要透過列舉上述方程，計算 \(t_n - t_1\) 所有的因數數量就可以得到本問題的解。

AC 程式碼

以下是本題的 AC 程式碼。需要注意的是，由於本題的資料量比較大，因此在判斷因數的過程中需要最佳化演算法（與判斷質數類似），這樣子演算法就可以在 \(O(\sqrt{n})\) 的時間內完成列舉，不至於超時：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

int t, a, b;

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cin >> t;
    while(t--){
        cin >> a >> b;
        int change = abs(b - a), cnt = 0;
        for (int i=1; i*i<=change; i++){
            if (change % i == 0){
                if (i*i != change) cnt += 2;
                else cnt += 1;
            }
        }
        cout << cnt << endl;
    }
    return 0;
}

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