P2042 [NOI2005] 維護數列
一道思路不難，但實現細節很多的平衡樹題，調了一天半終於做出來了w。
對於初始序列，我們可以直接構建一條鏈（畢竟一個一個呼叫插入函式也可能形成一條鏈）。題解有遞迴直接構建成一棵嚴格平衡的二叉樹的，這樣也可以，常數可能會小一點。
其中區間反轉就是裸的文藝平衡樹（題解）。
區間修改&求和與文藝平衡樹的原理相同，只需要多加\(1\)個賦值的懶標記即可。
刪除都是區間操作。我們受文藝平衡樹的啟發，找到區間的左右端點\(l,r\)，然後再找到\(l\)在中序遍歷中的前驅節點\(L\)，\(r\)在中序遍歷中的後繼節點\(R\)，splay(L,0)，在splay(R,L)，這樣\(R\)的左子樹就是要操作的區間\([l,r]\)了。刪除\([l,r]\)區間，直接斷開\(R\)與其左子樹的連線即可。
插入同樣是區間操作，我們可以把輸入的值連成一條鏈（或構建成一棵嚴格平衡的二叉樹），然後找我們要插入的位置是哪一個節點，設要插入的位置為\(pos\)之後，那麼找到的節點\(u\)就是中序遍歷第\(pos\)個節點。我們再尋找\(u\)的後繼節點，把這條連結到後繼它上面就可以了（別忘了無右兒子的情況）。
平衡樹維護最大子列和其實不難，但這道題有個很毒的坑點：子列不能為空，然而題面卻沒有給出！
每個節點\(u\)額外維護\(3\)個資訊：
- \(lmax\)：子樹\(u\)的中序遍歷的最大字首（可以為空）。
- \(rmax\)：子樹\(u\)的中序遍歷的最大字尾（可以為空）。
- \(maxx\)：子樹\(u\)的中序遍歷的最大子列和（不能為空）。
初始化（\(sum\)表示子樹權值和）：
\(maxx(u)=v(u)\\lmax(u)=rmax(u)=\max(v(u),0)\)
轉移：
- \(\color{green}lmax(u)=\max\{lmax(lc(u)),sum(lc(u))+v(u)+lmax(rc(u)),0\}\)
（如果不選\(u\)就是\(lmax(lc(u))\)，如果選\(u\)就是\(sum(lc(u))+v(u)+lmax(rc(u))\)，根據定義可以為空，所以還要和\(0\)取一個\(\max\)） - \(\color{darkcyan}rmax(u)=\max\{rmax(rc(u)),sum(rc(u))+v(u)+rmax(lc(u)),0\}\)
（同理） - \(\color{mediumblue}maxx(u)=\max\{rmax(lc(u))+v(u)+lmax(rc(u)),maxx(lc(u)),maxx(rc(u))\}\)
（如果不選\(u\)就直接等於左邊的答案/右邊的答案，如果選\(u\)就是左邊的字尾最大+\(u\)的權值+右邊的字首最大）
pushdown中的轉移（set_sum）見程式碼。
注意到轉移的第\(3\)個式子中，\(rmax(lc(u))+v(u)+lmax(rc(u))\)是選\(u\)的情況，所以前字尾可以為空。
其實就這些了，思路不難，不過程式碼實現有很多需要注意。如果遇到問題可以查一下：
- 子列不能為空。
- 兩個哨兵值要置為\(0\)，否則計算\(sum\)可能會出問題。
- 一定一定要
pushdown，在查詢第\(k\)名、插入節點的過程中都要pushdown！ - 插入次數是\(4*10^6\)，如果開這麼大的陣列會MLE。但題目保證任何時候平衡樹裡不超過\(5*10^5\)個元素。我們考慮把刪掉的空間重複利用：每刪除一個子樹，就把這個子樹的根節點入棧，為插入的節點分配空間時，先看棧中有沒有節點，如果有，則把該節點拿出來，把它的左右子節點（如果有）入棧。沒有必要刪除後一次性把刪掉的節點都入棧。
- 區間翻轉需要
lmax和rmax交換位置。 - 和線段樹相似地，下放標記時對左兒子、右兒子操作，而非自己。拿計算\(sum\)來距離，
pushdown(x)應該是更新左右孩子的\(sum\)，而自己的\(sum\)應該在主函式中完成設定。其他同理。這應該作為寫pushdown的一個習慣。因為程式碼中，很有可能呼叫pushdown(x)後就去獲得\(x\)子節點的各種資訊（比如ins函式中pushdown(u)後就去獲取\(lc(rc(u))\)），所以必須保證子節點狀態得到更新。
點選檢視程式碼
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 500010
#define lc(x) tr[x].ch[0]
#define rc(x) tr[x].ch[1]
#define ch(x,y) tr[x].ch[y]
#define fa(x) tr[x].fa
#define v(x) tr[x].v
#define siz(x) tr[x].siz
#define tag(x) tr[x].tag
#define tag2(x) tr[x].tag2
#define sum(x) tr[x].sum
#define lmax(x) tr[x].lmax
#define rmax(x) tr[x].rmax
#define maxx(x) tr[x].maxx
using namespace std;
struct tree{
int ch[2],siz,fa,v,tag2,sum;
int lmax,rmax,maxx;
bool tag;
void init(){ch[0]=ch[1]=siz=fa=v=lmax=rmax=maxx=tag=0;tag2=LLONG_MIN;}
}tr[N];
int n,m,cnt,root,nodecnt;
stack<int> fr;
void init(int u){tr[u].init();}
int newnode(int v,int siz=1){
int u;
if(fr.empty()) u=++cnt;
else{
u=fr.top(),fr.pop();
if(lc(u)) fr.push(lc(u));
if(rc(u)) fr.push(rc(u));
}
init(u);
sum(u)=v(u)=maxx(u)=v,siz(u)=siz;
lmax(u)=rmax(u)=max(v,0ll);
return u;
}
void update(int u){
siz(u)=siz(lc(u))+siz(rc(u))+1;
sum(u)=sum(lc(u))+v(u)+sum(rc(u));
lmax(u)=max(max(lmax(lc(u)),sum(lc(u))+v(u)+lmax(rc(u))),0ll);
rmax(u)=max(max(rmax(rc(u)),sum(rc(u))+v(u)+rmax(lc(u))),0ll);
maxx(u)=rmax(lc(u))+v(u)+lmax(rc(u));
if(lc(u)) maxx(u)=max(maxx(u),maxx(lc(u)));
if(rc(u)) maxx(u)=max(maxx(u),maxx(rc(u)));
}
bool get(int u){return u==rc(fa(u));}
void rot(int x){
int y=fa(x),z=fa(y);//保證y!=0
bool dir=get(x),tdir=get(y);
if(ch(x,!dir)) fa(ch(x,!dir))=y;
ch(y,dir)=ch(x,!dir);
ch(x,!dir)=y;
fa(y)=x,fa(x)=z;
if(z) ch(z,tdir)=x;
update(y),update(x);
}
void splay(int x,int y){
for(int f;(f=fa(x))!=y;rot(x))
if(fa(f)!=y) rot(get(f)==get(x)?f:x);
if(!y) root=x;
}
void set_sum(int x,int v){//用於pushdown和主函式
tag2(x)=v,v(x)=v,sum(x)=v*siz(x);
if(v>0) lmax(x)=rmax(x)=maxx(x)=sum(x);
else lmax(x)=rmax(x)=0,maxx(x)=v;
}
//用於pushdown和主函式
void set_rev(int x){swap(lc(x),rc(x)),swap(lmax(x),rmax(x)),tag(x)^=1;}
void pushdown(int x){
if(tag2(x)!=LLONG_MIN){
if(lc(x)) set_sum(lc(x),tag2(x));
if(rc(x)) set_sum(rc(x),tag2(x));
tag(x)=0;//相當於一個小最佳化，如果已經區間賦值了，那麼翻轉不翻轉無所謂了
tag2(x)=LLONG_MIN;
}
if(tag(x)){
if(lc(x)) set_rev(lc(x));
if(rc(x)) set_rev(rc(x));
tag(x)=0;
}
}
int find(int num){//找中序遍歷第num個是哪個節點
int u=root;
while(u){
pushdown(u);//別忘了pushdown
if(siz(lc(u))+1==num) break;
else if(siz(lc(u))>=num) u=lc(u);
else num-=siz(lc(u))+1,u=rc(u);//這兩句順序別反了
}
return u;
}
void ins(int num,int v){//在中序第num後插入子樹v
int u=find(num+1);
pushdown(u);//pushdown不要忘記
int nex=rc(u);
if(!nex) rc(u)=v,fa(v)=u,splay(u,0);
else{
while(lc(nex)){
pushdown(nex);//一定記得寫pushdown
nex=lc(nex);
}
pushdown(nex);//這個也不要忘
lc(nex)=v,fa(v)=nex,splay(nex,0);
}
}
void make_range(int& l,int& r){//取出[l,r]的區間，放在lc(r)中
l=find(l),r=find(r+2);//本來應該是l-1,r+1，但因為有哨兵節點所以需要+1
splay(l,0),splay(r,l);//lc(r)就是要操作的部分
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cin>>n>>m;
newnode(0,1);//兩個哨兵的值都為0，否則sum計算會出問題
for(int i=1;i<=n+1;i++){//連成一條鏈
int v;
if(i==n+1) v=0;
else cin>>v;
newnode(v);
lc(cnt)=cnt-1;
fa(cnt-1)=cnt;
update(cnt);
}
root=nodecnt=n+2;//根節點不是1而是n+2
while(m--){
string op;
cin>>op;
if(op=="INSERT"){
int pos,tot,x;
cin>>pos>>tot;
if(tot==0) continue;
int cur,last;
for(int i=1;i<=tot;i++){//把輸入連成一條鏈
cin>>x;
cur=newnode(x,i);
if(i>1) fa(last)=cur,lc(cur)=last;
update(cur);
last=cur;
}
ins(pos,cur);//cur是這條鏈的根節點
nodecnt+=tot;
}else if(op=="DELETE"){
int l,tot,r;
cin>>l>>tot;
r=l+tot-1;
make_range(l,r);
if(lc(r)) fa(lc(r))=0,fr.push(lc(r)),lc(r)=0;//需要將子樹根節點入棧
nodecnt-=tot;
}else if(op=="MAKE-SAME"){
int l,tot,r,v;
cin>>l>>tot>>v;
r=l+tot-1;
make_range(l,r);
if(lc(r)) set_sum(lc(r),v);
}else if(op=="REVERSE"){
int l,tot,r;
cin>>l>>tot;
r=l+tot-1;
make_range(l,r);
if(lc(r)) set_rev(lc(r));
}else if(op=="GET-SUM"){
int l,tot,r;
cin>>l>>tot;
r=l+tot-1;
make_range(l,r);
cout<<sum(lc(r))<<"\n";
}else if(op=="MAX-SUM"){
int l=1,r=nodecnt-2;
make_range(l,r);
cout<<maxx(lc(r))<<"\n";
}
}
return 0;
}