P3311 [SDOI2014] 數數
看到多模式匹配，我們考慮先對所有模式串建立AC自動機。
然後發現這道題和P4052 文字生成器（題解）挺像的，後者讓求包含至少一個模式串的個數，這道題讓求一個也不包含的個數，這個就是一個用不用\(26^m\)去減的問題，很好處理。但這道題還多了一個條件，“幸運數”必須\(\le n\)，而\(n\)足足有\(1200\)位，所以很自然地想到數位dp。
實際上，P4052也可以用數位dp來解決，只不過填寫沒有大小限制，每個節點都可以填A~Z。換到這道題上也一樣，只不過記憶化的前提是“當前非前導\(0\)”而且“填寫當前位無限制”。
下文中的“答案”均表示“不可讀的字串個數”。
用\(f[pos][p]\)來表示“主串第\(pos\)個字元對應自動機上節點\(p\)”的答案。
數位dp提供\(4\)個引數：
int\(pos\)：當前在主串的哪一位（從最高位開始，以\(pos=0\)為結束條件）。int\(p\)：\(當前pos\)對應自動機上哪個節點。bool\(limit\)：填寫是否受限（數位dp標配）。bool\(zero\)：是否是前導\(0\)（數位dp標配）。
用\(f\)記憶化即可。
int dfs(int pos,int p,bool limit,bool zero){
if(en[p]) return 0;//如果遇到字串結尾，則答案一定為0
if(!pos) return !zero;//限定正整數
if(!limit&&!zero&&~f[pos][p]) return f[pos][p];
int rig=limit?a[pos]:9;
int ans=0;
for(int i=0;i<=rig;i++){
int tzero=zero&&!i;
ans=(ans+dfs(pos-1,tzero?0:tr[p][i],limit&&i==rig,tzero))%mod;
}
if(!limit&&!zero) f[pos][p]=ans;
return ans;
}
時間複雜度\(O(\log_{10}n\times \sum|s|\times |\Sigma|)\)。
點選檢視程式碼
#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define N 1510//節點數（模式串總長）
#define M 1210//主串長度
#define C 10//字符集大小
using namespace std;
int n,m,tr[N][C],fail[N],cnt;
int q[N],head,tail,f[M][N],a[M];
bool en[N];
string s,t;
void ins(string s){
int p=0;
for(char i:s){
int c=i-'0';
if(!tr[p][c]) tr[p][c]=++cnt;
p=tr[p][c];
}
en[p]=1;
}
void get_fail(){
head=0,tail=-1;
for(int i=0;i<C;i++) if(tr[0][i]) q[++tail]=tr[0][i];
while(head<=tail){
int u=q[head++];
for(int i=0;i<C;i++){
if(tr[u][i]) fail[tr[u][i]]=tr[fail[u]][i],q[++tail]=tr[u][i],
en[tr[u][i]]|=en[fail[tr[u][i]]];
else tr[u][i]=tr[fail[u]][i];
}
}
}
int dfs(int pos,int p,bool limit,bool zero){
if(en[p]) return 0;
if(!pos) return !zero;
if(!limit&&!zero&&~f[pos][p]) return f[pos][p];
int rig=limit?a[pos]:9;
int ans=0;
for(int i=0;i<=rig;i++){
int tzero=zero&&!i;
ans=(ans+dfs(pos-1,tzero?0:tr[p][i],limit&&i==rig,tzero))%mod;
}
if(!limit&&!zero) f[pos][p]=ans;
return ans;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
cin>>s>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>t;
ins(t);
}
get_fail();
memset(f,-1,sizeof f);
n=s.size();
for(int i=0;i<n;i++) a[n-i]=s[i]-'0';
cout<<dfs(n,0,1,1)<<"\n";
return 0;
}
一個問題
好像發現了什麼……
題解區有些不用dfs，用陣列線性遞推答案的寫法，可以把\(f\)的第一維滾掉，因為第一維是最外層迴圈列舉的，且\(f[i]\)只和\(f[i-1]\)有關；然而dfs寫法應該是滾不掉的，因為一次跑到底，那麼每個\(f[i]\)都存在有用的值，所以不能滾。
解決數位dp一般首選dfs，但上面的空間問題，難道是dfs寫法的一個弊端嗎？能否解決這個問題？
想到了bfs之類的解決方案，但是還沒梳理出頭緒，網上也貌似完全沒有提到bfs實現的數位dp。
如果大家有任何想法請發在評論區，謝謝！