找到相加等於2021的等差數列

2020除夕晚上，我給了一道題目：如何不用暴力窮舉，找到相加為2021的等差數列。

時光匆匆過了5個月，我才來得及把這道趣題的思路整理一下。等差數列的求和公式大家都知道，a1 + a2 + ... + an = (a1 + an)*n/2。這說明2021作為等差數列的和，必須能夠分解成兩個整數的乘積。當然這裡有個前提條件，就是這個等差數列是不平凡的。平凡的等差數列只有一個元素，就是[2021]。

怎樣因數分解2021呢，普通方法是試除，程式設計師可能會忍不住暴力求解。但是我們覺得這樣不夠優美。大家可能會想到用埃拉託斯特尼篩法，從2, ..., 2021用篩法篩除，找到因子。但這仍然屬於暴力解法。有一種用法國業餘數學家費馬命名的“費馬分解法”：如果2021=(a+b)(a-b)=a^2 - b^2，則2021 + b^2 = a^2。我們可以把2021加上一個小平方數，看看它是否等於另一個平方數。特別巧：2021 + 4 = 2025，其中4是2的平方，2025是45的平方。很多同學都背過25*25 = 625, 35*35 = 1225, 45*45 = 2025, ... 95*95 = 9025吧？於是2021=(45-2)(45+2) = 43 * 47

恰巧43, 47都是素數。於是我們知道2021只能分解為2個等差數列之和。(a1 + an)/2, n只能分別是43, 47或者反過來。這就是本題的答案。最後兩個等差數列分別是：

20+21+22+...+66和26+27+28+...+68

最後留一道習題給大家：你能證明25*25 = 625, 35*35 = 1225, 45*45 = 2025, ... 95*95 = 9025這個口訣的正確性麼？x5 * x5 = [x(x+1)]25？

更多數學內容見《同構——程式設計中的數學》