怎樣解題|題2.2.19：組合炸雞塊

《怎樣解題：數學競賽攻關寶典（第3版）》第 36 頁：

題2.2.19 灣區快餐店出售炸雞塊，並將這些雞塊打包出售， 一包中包含 7 塊或 11 塊雞塊。 求最大正整數 n， 使得你無論雞塊包怎麼組合都不能恰好得到 n 塊炸雞塊。 你能將此推廣嗎？

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此題等價於：令 x 和 y 是非負整數，z = 7x + 11y 不能表達的最大正整數是多少？我們有：

• 7·(-3) + 11·2 = 1
• 7·8 + 11·(-5) = 1

第一個等式是利用擴充套件歐幾里得演算法線上計算器計算出來的。第二個等式是利用：

• 7x + 11y = 7(x+11) + 11(y-7)

因此：

易知，本題的答案是 59。

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本題的一種推廣是假設一包中包含 a 塊或 b 塊雞塊，其中 a 和 b 互素。

例如，假設 a = 5, b = 21，則：

• 5·(-4) + 21·1 = 1
• 5·17 + 21·(-4) = 1

因此：

易知答案是 79。

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例如，假設 a = 105, b = 2048，則：

• 105·(-39) + 2048·2 = 1
• 105·2009 + 2048·(-103) = 1

因此：

易知答案是 212887。

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根據小學徒的評論，從 The Frobenius Coin Problem Upper Bounds on The Frobenius Number 可知，有以下定理：

給定大於 1 的互素的整數 a 和 b，令 x 和 y 是非負整數，則 ax + by 不能表達的最大正整數是 ab - a - b。