怎樣解題|題3.2.14：填充國際象棋棋盤

《怎樣解題：數學競賽攻關寶典（第3版）》第 78 頁：

題 3.2.14 把整數 1,2,3,...,n² 按任意順序 （不重複地）填在 n×n 國際象棋棋盤裡， 每個方格只能填一個整數。 證明存在兩個相鄰的方格，它們中填入的數相差至少為 n+1 （相鄰指水平的、垂直的或是對角的相鄰。）

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證明：不失一般性， 假設 1 和 n² 位於同一行，

然後，假設 1 位於第 1 列， n² 位於第 n 列。 則它們的差的平均值（相對於兩個相鄰的方格來說）為 (n² - 1) / (n-1) = n+1。 因此，存在兩個相鄰的方格的差至少為 n+1。 （因為，如果所有相鄰的方格的差都小於 n+1，則平均值也必定小於 n+1。）

如果 1 位於第 2 列（或更右邊），或者 n² 位於第 n-1 列（或更左邊）， 則平均值更大了。

如果 1 位於 n² 的右邊，則從右到左進行。

注意，其他情況是：

• 1 和 n² 位於同一列。
• 1 和 n² 位於同一斜線（包括向左傾斜和向右傾斜，且斜線的最大長度為 n）。

均可類似地證明。

證畢。