怎樣解題|題2.4.27：三項式定理

《怎樣解題：數學競賽攻關寶典（第3版）》第 57 頁：

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根據以下定理，這題的答案是 1235。

定理1： 給定正整數 m 和非負整數 n，如果將

展開並化簡後共有 C 項，則：

1. 當 m 是偶數時 C = 2n+1。
2. 當 m 是奇數且 n < m 時 C = (n+1)(n+2)/2。
3. 當 m 是奇數且 n ≥ m-2 時 C = m(2n-m+3)/2。

將上取整替換為下取整，這個定理也成立。

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三項式定理：

其中三項式係數定義如下：

注意：三項式定理的右邊共有 (n+1)(n+2)/2 項。

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我們以 m = 5, n = 12 來看看定理1。根據三項式定理，有：

滿足 j, k ≥ 0 且 j + k ≤ n 的格點如下所示（橫座標為 j，縱座標為 k，格點的值為 3j+5k）：

顯然，這樣的格點共有 1+2+…+(n+1) = (n+1)(n+2)/2 個。但是，這些格點的值有重複的。從圖中可以看出，滿足 j < m 的格點的值都不相同，這些格點共有 m(m+1)/2 + m(n+1-m) = m(2n-m+3)/2 個。

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當 m = 13, n = 12 時的格點如下所示（橫座標為 j，縱座標為 k，格點的值為 7j+13k）：

從圖中可以看出，這些格點的值都不相同。