怎樣解題|題2.2.29：康威的售票員問題

《怎樣解題：數學競賽攻關寶典（第3版）》第 37 頁：

題 2.2.29 康威的售票員問題。   偉大的數學家約翰·康威認為戶口調查員問題有一個美學上的缺陷， 因為這個問題的陳述涉及一個特定的整數。 他寫下了以下巧妙的問題， 它有一個唯一的整數答案， 但沒有提到具體的整數！

我坐在公交車上，無意中聽到兩個售票員的談話。 售票員 A 說：“我有正整數個孩子， 他們的年齡是正整數。 他們的年齡之積是我自己的年齡， 年齡之和就是這輛公交車的號碼。” 售票員 B 看了看車號說： “也許你告訴我你的年齡和你有多少個孩子， 我就可以算出他們的年齡了？” A 回答：“不，你還是會被難住的。” 突然 B 喊道：“我終於知道你的年齡了！”

問：公交車的號碼是多少？

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我們引入以下變數：

• a: 售票員 A 的年齡（the age of the wizard）
• b: 公交車的號碼（the number of the bus）
• c: 孩子的數量（the number of the children）

題目中的公交車的號碼是指第幾路公交車。 這道題目僅要求 a, b, c 都是正整數， 而不用考慮它們是否符合生活常識。 比如，如果需要，a 可以是 1 或者 4096。

要解答這個問題，有兩個要點：

1. 給定 a, b, c，售票員 B 無法推斷出各個孩子的年齡
2. 給定 b，售票員 B 可以推斷出 a 的（唯一的）值

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舉例來講，假設 b = 5，可能的情形如下所示：

• a = 1, c = 5, (1, 1, 1, 1, 1)
• a = 2, c = 4, (1, 1, 1, 2)
• a = 3, c = 3, (1, 1, 3)
• a = 4, c = 3, (1, 2, 2)
• a = 4, c = 2, (1, 4)
• a = 5, c = 1, (5)

可以看出，當 b = 5 時， 給定 a, b, c，售票員 B 可以推斷出各個孩子的年齡，不滿足第 1 個要點。 因此，b ≠ 5。 容易驗證，b > 5。

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假設 b = 21，可能的情形有：

• a = 96, c = 3, (1, 8, 12)
• a = 96, c = 3, (2, 3, 16)

此時，售票員 B 無法推斷出各個孩子的年齡，滿足第 1 個要點。 但是，可能的情形還有：

• a = 240, c = 3, (4, 5, 12)
• a = 240, c = 3, (3, 8, 10)

也就是說，a 可以是 96 或 240， 售票員 B 無法推斷出 a 的（唯一的）值，不滿足第 2 個要點。

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假設 b = 22，可能的情形有：

• a = 96, c = 4, (1, 1, 8, 12)
• a = 96, c = 4, (1, 2, 3, 16)
• a = 240, c = 4, (1, 4, 5, 12)
• a = 240, c = 4, (1, 3, 8, 10)

可以看出，我們總可以增加一個 1 歲的孩子， 這不會改變 a 值，但是會使 b 值增加了1。 因此，b < 21。

請讀者不要往下看，試著自己解出這道題。

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答案是：公交車的號碼是 12。 以下情形滿足第 1 個要點：

• a = 48, c = 4, (1, 3, 4, 4)
• a = 48, c = 4, (2, 2, 2, 6)

其他情形還有：

• a = 1, c = 12, (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
• a = 2, c = 11, (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
• a = 4, c = 10, (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2)
• a = 6, c = 9, (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3)
• a = 11, c = 2, (1, 11)
• a = 12, c = 1, (12)
• ……

容易驗證，在這些情形下，給定 a 和 c 可以推斷出各個孩子的年齡。 因此，售票員 B 可以推斷出 a 的值為 48，滿足第 2 個要點。

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假設 b = 13，可能的情形有：

• a = 36, c = 3, (1, 6, 6)
• a = 36, c = 3, (2, 2, 9)
• a = 48, c = 5, (1, 1, 3, 4, 4)
• a = 48, c = 5, (1, 2, 2, 2, 6)

所以 b < 13。

驗證 b 不能小於 12 的任務留給讀者。

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以上解答來源於：

• arXiv: Conway's Wizards