13.向量的線性相關性&內積&範數&正交
13.1 向量組的線性相關性
13.1.1 定義
對於任意向量組\(A:a_1,a_2,a_3,...,a_n\)，存在不全為0的數\(k_i(i=1,2,3,...,m)\)，使：
\[\tag{1}
\sum_{i=1}^mk_i\cdot a_i=0
\]
則稱向量組A是\(線性相關\)的，否則稱A是\(線性無關\)的
13.1.2 線性相關示例
設存在不全為0的數\(k_1,k_2\)，且存在以下列向量組：
\[a_1=
\begin {bmatrix}
0\\
1
\end {bmatrix}，
a_2=
\begin {bmatrix}
1\\
0
\end {bmatrix}
\]
根據線性相關的定義，可得：
\[k_1\cdot a_1 +k_2\cdot a_2=k_2+k_1\neq0
\]
\[\Rightarrow 向量組a_1,a_2是線性無關的
\]
設存在不全為0的數\(k_1,k_2\)，且存在以下列向量組：
\[a_1=
\begin {bmatrix}
1\\
2
\end {bmatrix}，
a_2=
\begin {bmatrix}
2\\
4
\end {bmatrix}
\]
設\(k_1\cdot a_1+k_2\cdot a_2=0\)，則有：
\[k_1\cdot a_1+k_2\cdot a_2=k_1\cdot
\begin {bmatrix}
1\\
2
\end {bmatrix}
+
k_2 \cdot
\begin {bmatrix}
2\\
4
\end {bmatrix}
=
\begin {bmatrix}
0\\
0
\end {bmatrix}
\]
\[\Leftrightarrow
\begin {cases}
k_1+2k_2=0\\
2k_1+4k_2=0
\end {cases}
\]
\[\Rightarrow 方程存在非0解，如：k_1=2，k_2=-1
\]
\[\Rightarrow 本示例中向量組a_1,a_2為線性相關
\]
13.2 向量組與矩陣的秩
13.2.1 定理
設存在向量組\(：a_1,a_2,a_3,...,a_m\)，且其構成的矩陣為：
\[A=
\begin {bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
...\\
a_m
\end {bmatrix}
\]
則有：
\[\tag{2}
向量組線性相關 \Leftrightarrow R(A)<m
\]
\[\tag{3}
向量組線性無關 \Leftrightarrow R(A)=m
\]
13.2.2 示例：n維單位座標向量組的線性相關性
設存在n維單位座標向量組：\(e_1,e_2,e_3,...,e_n\)
則n維單位座標向量組構成單位矩陣E，由：
\[|E|=1 \Rightarrow |E|\neq0 \Rightarrow R(E)=n
\]
\[\Leftrightarrow n維單位座標向量組是線性無關的
\]
13.3 向量的內積
13.3.1 內積的定義
設存在以下n維向量：
\[X=
\begin {bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
...\\
x_n
\end {bmatrix}，
Y=
\begin {bmatrix}
y_1\\
y_2\\
y_3\\
...\\
y_n
\end {bmatrix}
\]
則有：
\[\tag{4}
[x,y]=X^T \cdot Y =\sum_{i=1}^nx_i\cdot y_i
\]
稱\([x,y]為\)向量\(x\)與向量\(y\)的內積。
13.3.2 內積相關性質
向量的內積具有以下性質：
\[\begin {array}{c}
(1)&[x,y]=[y,x]\\\\
(2)&[\lambda x,y]=\lambda \cdot [x,y]\\\\
(3)&[x+y,z]=[x,z]+[y,z]\\\\
(4)&
\begin {cases}
[x,x]=0, x=0 \\
[x,x]>0, x\neq0 \\
\end {cases}\\\\
(5)&柯西不等式：[x,y]^2 \leq [x,x]\cdot[y,y]
\end {array}
\]
13.4 向量的範數
13.4.1 範數的定義
設存在n維向量\(x\)，令：
\[\tag{5}
||x||=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}
\]
則稱\(||x||\)為向量\(x的範數（或長度）\)
13.4.2 範數的性質
向量的範數具有以下性質：
\[\begin {array}{c}
(1)非負性： & \begin {cases}||x||=0，x=O \\ ||x||>0，x\neq O\end {cases}\\\\
(2)齊次性：&||\lambda \cdot x||=|\lambda| \cdot ||x||\\\\
(3)三角不等式：& ||x+y|| \leq ||x||+||y||
\end {array}
\]
13.4.3 單位向量的定義
設存在n維向量\(x\)，則有：
\[\tag{6}
||x||=1 \Leftrightarrow x是單位向量
\]
13.5 向量的正交
13.5.1 向量正交的定義
設存在n維向量\(x,y\)
若：
\[\tag {7}
[x,y]=0
\]
則稱x與y正交。
- 推論：\(x=O \Rightarrow x與任何向量正交\)
13.5.2 正交與線性相關性的定理
設存在n維非零向量：\(A=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)\)，且存在A中的任意元素\(a_i，a_j（a_i\neq a_j）\)，則有：
\[\tag{8}
([a_i,a_j]=0)\bigwedge (a_i\neq a_j\neq0) \Rightarrow A是線性無關的
\]
\[設存在不全為0的數k_1,k_2,k_3,...,k_n，則有：
\]
\[A線性無關 \Leftrightarrow \sum_{i=1}^n k_i\cdot a_i \neq 0
\]
\[則求證命題轉化為：([a_i,a_j]=0)\bigwedge (a_i\neq a_j\neq0)\Rightarrow \sum_{i=1}^n k_i\cdot a_i \neq 0
\]
\[由等式性質得：\sum_{i=1}^n k_i\cdot a_i \neq 0 \Leftrightarrow \sum_{i=1}^n k_i\cdot a_i \cdot a_1^T \neq 0
\]
\[由[a_i,a_j]=0 \Rightarrow k_1\cdot a_1\cdot a_1^T \neq 0 \Rightarrow k_1\cdot [a_1^2] \Rightarrow k_1 \neq 0
\]
\[同理可得k_2,k_3,...,k_n均不為0，則有:
\]
\[([a_i,a_j]=0)\bigwedge (a_i\neq a_j\neq0) \Rightarrow \sum_{i=1}^n k_i\cdot a_i \neq 0 \Rightarrow A線性無關
\]
13.6 規範正交基
13.6.1 規範正交基的定義
設n維向量\(E=(e_1,e_2,...,e_n)\)是向量空間\(V\)（$V \subset R^n $）中的一個基，若E中向量均是單位向量，且兩兩正交，則稱E是V的一個規範正交基。
13.6.2 規範正交基示例
設存在以下向量E=(e_1,e_2,e_3,e_4)，其中元素均為單位向量，且兩兩正交：
\[e_1=
\begin {bmatrix}
\frac 1 {\sqrt 2}\\
\frac 1 {\sqrt 2}\\
0\\
0
\end {bmatrix}，
e_2=
\begin {bmatrix}
\frac 1 {\sqrt 2}\\
-\frac 1 {\sqrt 2}\\
0\\
0
\end {bmatrix}，
e_3=
\begin {bmatrix}
0\\
0\\
\frac 1 {\sqrt 2}\\
\frac 1 {\sqrt 2}
\end {bmatrix}，
e_4=
\begin {bmatrix}
0\\
0\\
\frac 1 {\sqrt 2}\\
-\frac 1 {\sqrt 2}
\end {bmatrix}
\]
則稱E=(e_1,e_2,e_3,e_4)是\(R^4\)的一個規範正交基
13.6.3 規範正交基相關性質
若\(E=(e_1,e_2,...,e_n)\)是向量空間\(V\)（$V \subset R^n \(）中的一個規範正交基，則\)V$中任一元素均能由E進行線性表示。
如\(a\)是\(V\)中一元素，則\(a\)可表示為：
\[\tag{9}
a=k_1\cdot e_1 + k_2\cdot e_2 + ... +k_n\cdot e_n
\]
\[由等式及規範正交基相關性質得：
\]
\[a\cdot e_1^T=k_1\cdot e_1 \cdot e_1^T=k_1
\]
\[\tag{10}
同理可得：k_i=a\cdot e_i^T（i=1,2,3,...,n）
\]