線性代數--矩陣

矩陣

• 代表一張樹表
• m*n 行數不一定等於列數
  $$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$
• 同型矩陣 有前提：AB行數相等 列數相等
  $$A_{34}{B}_{34}$$
• 矩陣相等 同型矩陣並且對應的元素相等
• 零矩陣 所有元素均為0
  兩個零矩陣一定相等是錯誤的：矩陣相等的前提是同型矩陣

特殊矩陣

• 方陣： 行數===列數 也有主對角線和副對角線
  一行一列：$$A=\left(\begin{array}{c}1\end{array}\right)=1$$
• 負矩陣 方陣
  所有元素都取相反數
• 上三角形矩陣，不能這樣寫。方陣
  
• 下三角形矩陣 方陣
• 對角型矩陣 方陣
• 數量矩陣 方陣
  主對角元素全是一樣，特殊的對角型矩陣
• 單位陣 方陣
  主對角元素全是1

矩陣的加減法

• 對應的元素相加減,有前提條件，必須要為同型矩陣
  $$\begin{array}{l}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 1& 4\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 9\\ 10& 1& 3\end{array}\right)\\ A+B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 12\\ 11& 2& 7\end{array}\right)A-B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -6\\ -9& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$
• 運算規律：

1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
3. A + 0 = A 0為零矩陣 必須為同型矩陣
4. A +（-A）= 0
5. A - B = A +（-B）
6. A + B = C A = C - B

矩陣的數乘

• 矩陣提公因子：矩陣的所有元素均有公因子k，k向外提一次
• 行列式提公因子：

1. 行列式的某一行有公因子k，k向外提一次
2. 行列式的所有元素均有公因子k，k往外提n次

• 運算規律 K,L是數

1. K(A + B) =KA + KB
2. (K + L) A = KA + LA
3. (kL)A = k(LA) = L(kA)
4. 1 * A = A
5. -1 * A = -A

矩陣的乘法

"中間相等，取兩頭"
$$A_{2\times 4}{B}_{4\times 3}=C_{2\times 3}$$

• 兩個矩陣做乘法的前提條件
  第一個矩陣的列數=第二個矩陣的行數
• 結果矩陣的形狀
  結果矩陣的行數=第一個矩陣的行數
  結果矩陣的列數=第二個矩陣的列數
• 乘法不滿足

1. 不滿足交換律 AB 一般不等於 BA，AB有意義時，BA不一定有意義
   
2. 不滿足消去律 AB = BC 且A不等於0 推不出B===C
   
3. AB = 0 推不出 A=0 或 B=0

• 左乘右乘，不能搞反，有問題
  
• 矩陣乘法滿足

1. 結合律 （AB）C = A（BC）
2. 分配律 A（B+C）= AB + AC （B+C）A= BA + CA
3. k(AB) = (kA)B = A(kB)
4. AE = EA = A
5. AO = OA = O O是零矩陣
6. 對角型 $$\left[\begin{array}{cccc}a& 0& \cdots & 0\\ 0& a& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]=aE$$
7. $$\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& a_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{b}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& b_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & b_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1{b}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& a_2{b}_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_n{b}_n\end{array}\right]$$

矩陣可交換的 AB= BA

1. AB是同階方陣
2. 不是同階方陣 一定不可交換
3. AB BA不想等 不可交換
4. E任何同階方陣均可交換 EA = AE = A
5. 同階的對角陣也可交換

方陣的冪 只有方陣才能求

$$\begin{array}{}{A}^k=A\cdot A\cdot A\cdot A\\ A^0=E\end{array}$$

• 性質

1. $$\begin{array}{}{A}^{k_1}\cdot A^{k_2}=A^{k_1+k_2}\end{array}$$
2. $$\begin{array}{}(A^{k_1}{)}^{k_2}=A^{k_1\cdot k_2}\end{array}$$

• 公式

2. 二次公式

3. 三次公式

4. 十字

例1：

矩陣的轉置

$$\begin{array}{}{A}_{m\times n}=(A^T{)}_{n\times m}\end{array}$$

• 性質

1. $$\begin{array}{}(A^T{)}^T=A\end{array}$$
2. $$\begin{array}{}(A+B{)}^T=A^T+B^T\end{array}$$
   $$\begin{array}{}(A-B{)}^T=A^T-B^T\end{array}$$
3. $$\begin{array}{}(kA{)}^T=k{A}^T\end{array}$$
4. $$\begin{array}{}(AB{)}^T=B^T{A}^T\end{array}$$
   $$\begin{array}{}(ABC{)}^T=C^T{B}^T{A}^T\end{array}$$
5. $$\begin{array}{}(A^k{)}^T=(A^T{)}^k\end{array}$$

對稱矩陣和反對稱矩陣

奇數階反對稱行列式等於0

方陣的行列式 只有方陣才有行列式

$$\begin{array}{}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)\left|A\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|\end{array}$$

• 性質：

1. $$\begin{array}{}\left|A^T\right|=\left|A\right|\end{array}$$
2. $$\begin{array}{}\left|kA\right|=k^n\left|A\right|\end{array}$$
3. $$\begin{array}{}\left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|\end{array}$$
4. $$\begin{array}{}\left|A^m\right|={\left|A\right|}^m\end{array}$$
5. $$\begin{array}{}\left|E\right|=1\end{array}$$