11.三種初等矩陣及其性質
11.1 三種初等矩陣
設存在列向量A：
\[A=
\begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
a_4\\
...\\
a_i\\
...\\
a_j\\
...\\
a_n
\end{bmatrix}
\]
則以下\(X_1,X_2,X_3\)三種矩陣分別與A相乘後，可對A進行三種初等變換：
11.1.1 矩陣\(X_1\)：對應\(a_i \leftrightarrow a_j\)
設存在如下n階矩陣\(X_1\)，使相應單位矩陣的第i行和第j行產生變化：
\[\tag{1}
X_1=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0&0&...&0&0&0\\
0 & 1 & 0 & 0&0&...&0&0&0\\
0 & 0 & 1 & 0&0&...&0&0&0\\
0 & 0 & 0 & 1&0&...&0&0&0\\
&...&...&...&...&...&...\\
0 & 0 & 0 & ...&x_{ii}=0&...x_{ij}=1&0&...&0\\
&...&...&...&...&...&...\\
0&0&0&...&x_{ji}=1&...x_{jj}=0&0&...&0\\
&...&...&...&...&...&...\\
0 & 0 & 0 & 0&0&...&0&0&1
\end{bmatrix}
\]
以上矩陣\(X_1\)將相應單位矩陣的元素\(x_{ii},x_{jj}\)變為0，\(x_{ij},x_{ji}\)變為1
則透過\(X_1 \cdot A\)可對A進行初等變換\(a_i \leftrightarrow a_j\)：
\[X_1 \cdot A=
\begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
a_4\\
...\\
a_j\\
...\\
a_i\\
...\\
a_n
\end{bmatrix}
\]
故形如\(X_1\)的矩陣可對應初等變換：\(a_i \leftrightarrow a_j\)
11.1.2 矩陣\(X_2\)：對應\(\lambda \cdot A\)
設存在如下n階矩陣\(X_2\)，使相應單位矩陣的第\(i\)行產生變化：
\[\tag{2}
X_2=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & ...&0&0\\
0 & 1 & 0 & 0 & ...&0&0\\
0 & 0 & 1 & 0 & ...&0&0\\
...&&...&&...\\
0 & 0 & 0 & 0 & x_{ii}=\lambda&0...&0\\
...&&...&&...\\
0 & 0 & 0 & 0 & ...&0&1
\end{bmatrix}
\]
矩陣\(X_2\)中，將相應單位矩陣的元素\(x_{ii}\)的值由1變為\(\lambda\)
則透過\(X_2 \cdot A\)可對A進行初等變換\(\lambda \cdot A\)：
\[X_2 \cdot A=
\begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
a_4\\
...\\
\lambda \cdot a_i\\
...\\
a_j\\
...\\
a_n
\end{bmatrix}
\]
故形如\(X_2\)的矩陣可對應初等變換：\(\lambda \cdot A\)
11.1.3矩陣\(X_3\)：對應\(a_i+k \cdot a_j\)
設存在如下n階矩陣\(X_3\)，使相應單位矩陣的第\(i\)行產生變化：
\[\tag{3}
X_3=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0&0&...&0&0&0\\
0 & 1 & 0 & 0&0&...&0&0&0\\
0 & 0 & 1 & 0&0&...&0&0&0\\
0 & 0 & 0 & 1&0&...&0&0&0\\
&...&...&...&...&...&...\\
0 & 0 & 0 & ...&1&0...x_{ij}=\lambda&0&...&0\\
&...&...&...&...&...&...\\
0 & 0 & 0 & 0&0&...&0&0&1
\end{bmatrix}
\]
矩陣\(X_3\)中，將相應單位矩陣的元素\(x_{ij}\)的值由0變為\(\lambda\)，而元素\(x_{ii}\)的值保持1不變，使矩陣相乘時第i行共產生2個元素相加
則透過\(X_3 \cdot A\)可對A進行初等變換\(a_i+\lambda \cdot a_j\)
\[X_3 \cdot A=
\begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
a_4\\
...\\
a_i+\lambda \cdot a_j\\
...\\
a_j\\
...\\
a_n
\end{bmatrix}
\]
故形如\(X_3\)的矩陣可對應初等變換：\(a_i+k \cdot a_j\)
11.2 三種初等矩陣的性質
設存在矩陣\(A_{mn}\)，以及初等矩陣\(X\)
則跟據11.1的內容可知，初等矩陣X對矩陣A進行的初等變換具有以下性質：
性質1：矩陣相乘時，X作行則行變換，X作列則列變換：
\[\tag{4}
X_{mm} \cdot A_{mn} \Leftrightarrow A的相應行變換
\]
\[A_{mn} \cdot X_{nn} \Leftrightarrow A的相應列變換
\]
性質2：初等矩陣的逆陣也是初等矩陣
可透過：$$X\cdot X^{-1}=E$$ 對11.1中的\(X_1,X_2,X_3\)進行證明（證明過程略）
性質3：方陣可逆的性質（方陣拆解為有限個初等矩陣相乘）
設存在方陣\(A'_{nn}\)，以及有限個初等矩陣\(P_1,P_2,P_3,...,P_n\)
則：
\[\tag{5}
A'_{nn}可逆 \Leftrightarrow A'=P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot ...\cdot P_n
\]
性質3的證明：
\[由A'=P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot ...\cdot P_n
\]
\[\Rightarrow A'\cdot P^{-1}_1\cdot P^{-1}_2\cdot P^{-1}_3\cdot ...\cdot P^{-1}_n = E
\]
由性質2及10.2矩陣標準形的特性：
\[\Rightarrow P^{-1}_1\cdot P^{-1}_2\cdot P^{-1}_3\cdot ...\cdot A'\cdot ...\cdot P^{-1}_n = F
\]
由矩陣的逆的性質：
\[\Rightarrow A' = P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot ...\cdot P_n \cdot F
\]
由A是方陣：
\[\Rightarrow |A'| = |P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot ...\cdot P_n| \cdot |F|
\]
由A'可逆
\(
\Rightarrow |A'| \neq 0 \Rightarrow |F|\neq0
\)
則根據行列式按行展開的性質：
\(F無全為0的行\Rightarrow F=E\)：
\[\Rightarrow |A'| = |P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot ...\cdot P_n| （同理可反推A'可逆）
\]
則：
\[A'_{nn}可逆 \Leftrightarrow A'=P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot ...\cdot P_n
\]
性質3推論：方陣變換為單位矩陣
由性質3的式（5）：
\[\Rightarrow P^{-1}_1\cdot P^{-1}_2\cdot P^{-1}_3\cdot ...\cdot P^{-1}_n \cdot A'= E
\]
則：
\[方陣A'可逆 \Leftrightarrow A'_{nn}與E行等價
\]
\[\tag{6}
即可逆的方陣A'經過有限次行變換後可變換為單位矩陣E
\]
\[反之單位矩陣E經過有限次行變換後可變換為方陣A'的逆
\]
11.3 初等矩陣性質的應用
設存在以下矩陣：
\[A=
\begin{bmatrix}
0 & -2 & 1\\
3 & 0 & -2\\
-2 & 3 & 0
\end{bmatrix}
\]
現需求\(A^{-1}\)的值，證明\(A\)可逆。
根據初等矩陣的性質，可求解如下：
設存在3階可逆方陣\(P=P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot ...\cdot P_n\)
則有：\(P \cdot A=E,\quad P \cdot E=A^{-1}\)
故\(A, E\)可同時進行行變換，可設矩陣(A,E)如下：
\[(A,E)=
\begin{bmatrix}
0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0\\
3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0\\
-2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
則經過有限次行變換後可得以下結果（變換過程略）：
\[(A,E)=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 6 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 4 &2 & 3\\
0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6
\end{bmatrix}
\]
故\(A\)可逆，且：
\[A^{-1}=
\begin{bmatrix}
6 & 3 & 4\\
4 & 2 & 3\\
9 & 4 & 6
\end{bmatrix}
\]